ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите произведение комплексных чисел } z_1 \text{ и } z_2, \text{ если:}
\)

1) \( z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right), \quad z_2 = 3 \left( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \right); \)

2) \( z_1 = 5 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{16}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{16}\right) \right), \quad z_2 = \cos(1) + i \sin(1); \)

3) \( z_1 = 4 \left( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) — i \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \right), \quad z_2 = -2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right); \)

4) \( z_1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right), \quad z_2 = \sqrt{3} + i. \)

1)
\(
z_1 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right), \quad z_2 = 3 \left(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12}\right);
\)

\(
r = 2 \cdot 3 = 6, \quad \varphi = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4};
\)

\(
z = 6 \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) = 6 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2};
\)

Ответ: \( 3\sqrt{2} + 3i \sqrt{2} \).

2)
\(
z_1 = 5 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{16}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{16}\right)\right), \quad z_2 = \cos 1 + i \sin 1;
\)

\(
r = 5 \cdot 1 = 5, \quad \varphi = -\frac{\pi}{16} + 1 = 1 — \frac{\pi}{16};
\)

Ответ:
\(
5 \left(\cos \left(1 — \frac{\pi}{16}\right) + i \sin \left(1 — \frac{\pi}{16}\right)\right).
\)

3)
\(
z_1 = 4 \left(\cos \frac{\pi}{8} — i \sin \frac{\pi}{8}\right), \quad z_2 = -2 \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right);
\)

\(
z_1 = 4 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right), \quad z_2 = 2 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right);
\)

\(
r = 4 \cdot 2 = 8, \quad \varphi = -\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4} = \frac{10\pi}{8} — \frac{\pi}{8} = \frac{9\pi}{8};
\)

Ответ:
\(
8 \left(\cos \frac{9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8}\right).
\)

4)
\(
z_1 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right), \quad z_2 = \sqrt{3} + i;
\)

\(
r_2 = \sqrt{3} + 1 = \sqrt{4} = 2, \quad \cos \varphi_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi_2 = \frac{1}{2};
\)

\(
\varphi_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad z_2 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right);
\)

\(
r = 2 \cdot 2 = 4, \quad \varphi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2};
\)

\(
z = 4 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = 4(0 + i) = 4i;
\)

Ответ: \( 4i \).

1) Найдем произведение чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

\(
z_1 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right), \quad z_2 = 3 \left(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12}\right).
\)

Сначала найдем модуль и аргумент произведения:

\(
r = 2 \cdot 3 = 6, \quad \varphi = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}.
\)

Теперь запишем результат в тригонометрической форме:

\(
z = 6 \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) = 6 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2}.
\)

Ответ: \( 3\sqrt{2} + 3i \sqrt{2} \).

2) Найдем произведение чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

\(
z_1 = 5 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{16}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{16}\right)\right), \quad z_2 = \cos 1 + i \sin 1.
\)

Теперь найдем модуль и аргумент произведения:

\(
r = 5 \cdot 1 = 5, \quad \varphi = -\frac{\pi}{16} + 1 = 1 — \frac{\pi}{16}.
\)

Ответ:

\(
5 \left(\cos \left(1 — \frac{\pi}{16}\right) + i \sin \left(1 — \frac{\pi}{16}\right)\right).
\)

3) Найдем произведение чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

\(
z_1 = 4 \left(\cos \frac{\pi}{8} — i \sin \frac{\pi}{8}\right), \quad z_2 = -2 \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right).
\)

Запишем \( z_1 \) и \( z_2 \) в стандартной форме:

\(
z_1 = 4 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right), \quad z_2 = 2 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент произведения:

\(
r = 4 \cdot 2 = 8, \quad \varphi = -\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{10\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} + \frac{10\pi}{8} = \frac{9\pi}{8}.
\)

Ответ:

\(
8 \left(\cos \frac{9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8}\right).
\)

4) Найдем произведение чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

\(
z_1 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right), \quad z_2 = \sqrt{3} + i.
\)

Сначала найдем модуль и аргумент числа \( z_2 \):

\(
r_2 = |z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.
\)

Теперь найдем косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi_2 = \frac{1}{2}.
\)

Таким образом, аргумент равен:

\(
\varphi_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,
\)

и можем записать \( z_2 \):

\(
z_2 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент произведения:

\(
r = 2 \cdot 2 = 4,
\)
\(
\varphi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.
\)

Теперь запишем результат в тригонометрической форме:

\(
z = 4 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = 4(0 + i) = 4i.
\)

Ответ: \( 4i. \)