Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите корни \( n \)-й степени из числа \( z \), если:
1) \( z = 4\left(\cos\left(\frac{16\pi}{19}\right) + i\sin\left(\frac{16\pi}{19}\right)\right), \quad n = 4; \)
2) \( z = 125\left(\cos\left(\frac{9}{11}\right) + i\sin\left(\frac{9}{11}\right)\right), \quad n = 3; \)
3) \( z = 64, \quad n = 6; \)
4) \( z = \sqrt{3} — i, \quad n = 4. \)
1) \( z = 4 \left(\cos \frac{16\pi}{19} + i \sin \frac{16\pi}{19}\right), n=4 \)
\(
\sqrt[4]{z_k} = \sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k=0..3
\)
2) \( z = 125 \left(\cos \frac{9\pi}{11} + i \sin \frac{9\pi}{11}\right), n=3 \)
\(
\sqrt[3]{z_k} = 5 \left(\cos \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right), \quad k=0..2
\)
3) \( z = 64, n=6 \)
\(
\sqrt[6]{z_k} = 2 \left(\cos \frac{\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi k}{3}\right), \quad k=0..5
\)
4) \( z = \sqrt{3} — i, n=4 \)
\(
\sqrt[4]{z_k} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k=0..3
\)
1) \( z = 4 \left(\cos \frac{16\pi}{19} + i \sin \frac{16\pi}{19}\right), n = 4 \)
Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{4} \left(\cos \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)
\)
Подставляя значения \( k = 0, 1, 2, 3 \), получаем:
\(
\sqrt[4]{z_1} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{4\pi}{19} + i \sin \frac{4\pi}{19}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_2} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{27\pi}{38} + i \sin \frac{27\pi}{38}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_3} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{23\pi}{19} + i \sin \frac{23\pi}{19}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_4} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{65\pi}{38} + i \sin \frac{65\pi}{38}\right)
\)
2) \( z = 125 \left(\cos \frac{9\pi}{11} + i \sin \frac{9\pi}{11}\right), n = 3 \)
Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{125} \left(\cos \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right)
\)
Подставляя значения \( k = 0, 1, 2 \), получаем:
\(
\sqrt[3]{z_1} = 5 \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)
\)
\(
\sqrt[3]{z_2} = 5 \left(\cos \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi}{3}\right)\right)
\)
\(
\sqrt[3]{z_3} = 5 \left(\cos \left(\frac{3}{11} + \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3}{11} + \frac{4\pi}{3}\right)\right)
\)
3) \( z = 64, n = 6 \)
Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[6]{z} = \sqrt[6]{64} \left(\cos \left(\frac{0}{6} + \frac{2\pi k}{6}\right) + i \sin \left(\frac{0}{6} + \frac{2\pi k}{6}\right)\right)
\)
Подставляя значения \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \), получаем:
\(
\sqrt[6]{z_1} = 2 \left(\cos 0 + i \sin 0\right) = 2
\)
\(
\sqrt[6]{z_2} = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = 1 + i\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt[6]{z_3} = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) = -1 + i\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt[6]{z_4} = 2 \left(\cos \pi + i \sin \pi\right) = -2
\)
\(
\sqrt[6]{z_5} = 2 \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) = -1 — i\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt[6]{z_6} = 2 \left(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 1 — i\sqrt{3}
\)
4) \( z = \sqrt{3} — i, n = 4 \)
Определяем модуль и аргумент числа \( z \):
\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2
\)
\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{2}
\)
\(
z = 2 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)
\)
Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)
\)
Подставляя значения \( k = 0, 1, 2, 3 \), получаем:
\(
\sqrt[4]{z_1} = \sqrt{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{24}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{24}\right)\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_2} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{11\pi}{24} + i \sin \frac{11\pi}{24}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_3} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{23\pi}{24} + i \sin \frac{23\pi}{24}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_4} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{35\pi}{24} + i \sin \frac{35\pi}{24}\right)
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.