ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите корни \( n \)-й степени из числа \( z \), если:

1) \( z = 4\left(\cos\left(\frac{16\pi}{19}\right) + i\sin\left(\frac{16\pi}{19}\right)\right), \quad n = 4; \)

2) \( z = 125\left(\cos\left(\frac{9}{11}\right) + i\sin\left(\frac{9}{11}\right)\right), \quad n = 3; \)

3) \( z = 64, \quad n = 6; \)

4) \( z = \sqrt{3} — i, \quad n = 4. \)

1) \( z = 4 \left(\cos \frac{16\pi}{19} + i \sin \frac{16\pi}{19}\right), n=4 \)

\(
\sqrt[4]{z_k} = \sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k=0..3
\)

2) \( z = 125 \left(\cos \frac{9\pi}{11} + i \sin \frac{9\pi}{11}\right), n=3 \)

\(
\sqrt[3]{z_k} = 5 \left(\cos \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right), \quad k=0..2
\)

3) \( z = 64, n=6 \)

\(
\sqrt[6]{z_k} = 2 \left(\cos \frac{\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi k}{3}\right), \quad k=0..5
\)

4) \( z = \sqrt{3} — i, n=4 \)

\(
\sqrt[4]{z_k} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k=0..3
\)

1) \( z = 4 \left(\cos \frac{16\pi}{19} + i \sin \frac{16\pi}{19}\right), n = 4 \)

Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{4} \left(\cos \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{4\pi}{19} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)
\)

Подставляя значения \( k = 0, 1, 2, 3 \), получаем:
\(
\sqrt[4]{z_1} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{4\pi}{19} + i \sin \frac{4\pi}{19}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_2} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{27\pi}{38} + i \sin \frac{27\pi}{38}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_3} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{23\pi}{19} + i \sin \frac{23\pi}{19}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_4} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{65\pi}{38} + i \sin \frac{65\pi}{38}\right)
\)

2) \( z = 125 \left(\cos \frac{9\pi}{11} + i \sin \frac{9\pi}{11}\right), n = 3 \)

Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{125} \left(\cos \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right)
\)

Подставляя значения \( k = 0, 1, 2 \), получаем:
\(
\sqrt[3]{z_1} = 5 \left(\cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11}\right)
\)
\(
\sqrt[3]{z_2} = 5 \left(\cos \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{11} + \frac{2\pi}{3}\right)\right)
\)
\(
\sqrt[3]{z_3} = 5 \left(\cos \left(\frac{3}{11} + \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{3}{11} + \frac{4\pi}{3}\right)\right)
\)

3) \( z = 64, n = 6 \)

Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[6]{z} = \sqrt[6]{64} \left(\cos \left(\frac{0}{6} + \frac{2\pi k}{6}\right) + i \sin \left(\frac{0}{6} + \frac{2\pi k}{6}\right)\right)
\)

Подставляя значения \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \), получаем:
\(
\sqrt[6]{z_1} = 2 \left(\cos 0 + i \sin 0\right) = 2
\)
\(
\sqrt[6]{z_2} = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = 1 + i\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt[6]{z_3} = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) = -1 + i\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt[6]{z_4} = 2 \left(\cos \pi + i \sin \pi\right) = -2
\)
\(
\sqrt[6]{z_5} = 2 \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) = -1 — i\sqrt{3}
\)
\(
\sqrt[6]{z_6} = 2 \left(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 1 — i\sqrt{3}
\)

4) \( z = \sqrt{3} — i, n = 4 \)

Определяем модуль и аргумент числа \( z \):
\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2
\)
\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{2}
\)
\(
z = 2 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)
\)

Корни вычисляются по формуле:
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)
\)

Подставляя значения \( k = 0, 1, 2, 3 \), получаем:
\(
\sqrt[4]{z_1} = \sqrt{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{24}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{24}\right)\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_2} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{11\pi}{24} + i \sin \frac{11\pi}{24}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_3} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{23\pi}{24} + i \sin \frac{23\pi}{24}\right)
\)
\(
\sqrt[4]{z_4} = \sqrt{2} \left(\cos \frac{35\pi}{24} + i \sin \frac{35\pi}{24}\right)
\)