ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями \( n \)-й степени из числа \( z \), если:

1) \( z = i, \quad n = 3; \)

2) \( z = 1 + i, \quad n = 4; \)

3) \( z = -i, \quad n = 6. \)

1) \(z = i\), \(n = 3\);
\(r = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1\);
\(
\cos \varphi = \frac{0}{1} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{1}{1} = 1;
\)
\(
\sqrt[3]{r} = 1, \quad \varphi = \frac{\pi}{2}, \quad \frac{\varphi}{3} = \frac{\pi}{6};
\)
\(
\sqrt[3]{z} = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2};
\)

2) \(z = 1 + i\), \(n = 4\);
\(
r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2};
\)
\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\sqrt[4]{r} = \sqrt[4]{2}, \quad \varphi = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{\varphi}{4} = \frac{\pi}{16};
\)
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{8} \left(\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}\right);
\)

3) \(z = -i\), \(n = 6\);
\(
r = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{0}{1} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{-1}{1} = -1;
\)
\(
\sqrt[6]{r} = 1, \quad \varphi = -\frac{\pi}{2}, \quad \frac{\varphi}{6} = -\frac{\pi}{12};
\)
\(
\sqrt[6]{z} = \cos\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3}\right);
\)
\(
\sqrt[6]{z} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

2) \(z = 1 + i\sqrt{3}\), \(n = 3\);
\(
r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
\sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{2}, \quad \varphi = \frac{\pi}{3}, \quad \frac{\varphi}{3} = \frac{\pi}{9};
\)
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{2} \left(\cos \frac{\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{9}\right);
\)

3) \(z = 1\), \(n = 8\);
\(
r = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1;
\)
\(
\sqrt[8]{z} = \sqrt[8]{1} = 1;
\)

1) \(z = i\), \(n = 3\)

1. Вычисляем модуль числа \(z\):
\(
r = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1.
\)

2. Определяем аргумент числа \(z\):
\(
\cos \varphi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{0}{1} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{1}{1} = 1.
\)
Следовательно, аргумент числа \(z\):
\(
\varphi = \frac{\pi}{2}.
\)

3. Находим корень третьей степени из модуля:
\(
\sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{1} = 1.
\)

4. Делим аргумент на степень корня:
\(
\frac{\varphi}{3} = \frac{\pi}{6}.
\)

5. Выражаем один из корней:
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r} (\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 1 \cdot (\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}).
\)

6. Подставляем значения:
\(
\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.
\)
Тогда:
\(
\sqrt[3]{z} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}.
\)

2) \(z = 1 + i\), \(n = 4\)

1. Вычисляем модуль числа \(z\):
\(
r = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
\)

2. Определяем аргумент числа \(z\):
\(
\cos \varphi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin \varphi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
\)
Следовательно, аргумент числа \(z\):
\(
\varphi = \frac{\pi}{4}.
\)

3. Находим корень четвёртой степени из модуля:
\(
\sqrt[4]{r} = \sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}.
\)

4. Делим аргумент на степень корня:
\(
\frac{\varphi}{4} = \frac{\pi}{16}.
\)

5. Выражаем один из корней:
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{r} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}).
\)
Подставляем значения:
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{2} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}).
\)

3) \(z = -i\), \(n = 6\)

1. Вычисляем модуль числа \(z\):
\(
r = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1.
\)

2. Определяем аргумент числа \(z\):
\(
\cos \varphi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{0}{1} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{-1}{1} = -1.
\)
Следовательно, аргумент числа \(z\):
\(
\varphi = -\frac{\pi}{2}.
\)

3. Находим корень шестой степени из модуля:
\(
\sqrt[6]{r} = \sqrt[6]{1} = 1.
\)

4. Делим аргумент на степень корня:
\(
\frac{\varphi}{6} = -\frac{\pi}{12}.
\)

5. Выражаем один из корней:
\(
\sqrt[6]{z} = \cos(-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3}).
\)
Упрощаем аргумент:
\(
-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}.
\)

6. Подставляем значения:
\(
\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)
Тогда:
\(
\sqrt[6]{z} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

4) \(z = 1 + i\sqrt{3}\), \(n = 3\)

1. Вычисляем модуль числа \(z\):
\(
r = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2.
\)

2. Определяем аргумент числа \(z\):
\(
\cos \varphi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)
Следовательно, аргумент числа \(z\):
\(
\varphi = \frac{\pi}{3}.
\)

3. Находим корень третьей степени из модуля:
\(
\sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{2}.
\)

4. Делим аргумент на степень корня:
\(
\frac{\varphi}{3} = \frac{\pi}{9}.
\)

5. Выражаем один из корней:
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r} (\cos \frac{\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{9}).
\)
Подставляем значения:
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{2} (\cos \frac{\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{9}).
\)

5) \(z = 1\), \(n = 8\)

1. Вычисляем модуль числа \(z\):
\(
r = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.
\)

2. Находим корень восьмой степени из числа \(z\):
\(
\sqrt[8]{z} = \sqrt[8]{1} = 1.
\)
Так как число \(z = 1\) лежит на положительной вещественной оси, его аргумент равен нулю, и все корни будут равномерно распределены на окружности радиуса \(1\) в комплексной плоскости.