ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями \( n \)-й степени из числа \( z \), если:

1) \( z = -1, \quad n = 4; \)

2) \( z = 1 + \sqrt{3}i, \quad n = 3; \)

3) \( z = 1, \quad n = 8. \)

1) \(z = -1\), \(n = 4\);
\(
r = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{-1}{1} = -1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{1} = 0;
\)
\(
\sqrt[4]{r} = 1, \quad \varphi = \pi, \quad \frac{\varphi}{n} = \frac{\pi}{4};
\)
\(
\sqrt[4]{z} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

1) Рассмотрим \( z = -1 \) и \( n = 4 \).

Сначала найдем модуль \( r \):

\(
r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.
\)

Теперь определим аргумент \( \varphi \):

\(
\cos \varphi = \frac{-1}{1} = -1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{1} = 0.
\)

Таким образом, \( \varphi \) равен:

\(
\varphi = \pi.
\)

Теперь найдем корни четвёртой степени из числа \( z \):

\(
\sqrt[4]{r} = \sqrt[4]{1} = 1,
\)
\(
\frac{\varphi}{n} = \frac{\pi}{4}.
\)

Формула для корней четвёртой степени из \( z \) будет выглядеть следующим образом:

\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{1} \left(\cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4}\right)\right), \quad k = 0, 1, 2, 3.
\)

Теперь подставим значения для каждого \( k \):

Для \( k = 0 \):

\(
\sqrt[4]{z_0} = 1 \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Для \( k = 1 \):

\(
\sqrt[4]{z_1} = 1 \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Для \( k = 2 \):

\(
\sqrt[4]{z_2} = 1 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} — i \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Для \( k = 3 \):

\(
\sqrt[4]{z_3} = 1 \left(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} — i \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Таким образом, корни четвёртой степени из числа \( z = -1 \) равны:

— \( z_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
— \( z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
— \( z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} — i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
— \( z_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} — i \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Эти точки будут равномерно распределены на окружности радиуса 1 в комплексной плоскости.