ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть \( e_0, e_1, \ldots, e_{n-1} \) — корни \( n \)-й степени из числа 1. Найдите произведение

\(
e_0 \cdot e_1 \cdot \ldots \cdot e_{n-1}.
\)

1) В тригонометрической форме:
\(
r = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{1}{1} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{1} = 0;
\)
\(
1 = \cos 0 + i \sin 0;
\)
\(
e_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n};
\)

2) Произведение данных чисел:
\(
\theta = 0 + \frac{2\pi}{n} + \frac{4\pi}{n} + \dots + \frac{2\pi (n-1)}{n};
\)
\(
\theta = \frac{\pi}{n} \cdot \frac{2 + 2(n-1)}{2} \cdot (n-1);
\)
\(
\theta = \frac{\pi}{n} \cdot (1 + n-1) \cdot (n-1);
\)
\(
\theta = \frac{\pi}{n} \cdot n(n-1) = \pi (n-1);
\)
\(
D = e_0 \cdot e_1 \cdot e_2 \cdot \dots \cdot e_{n-1};
\)
\(
D = \cos \pi (n-1) + i \sin \pi (n-1);
\)
\(
D = \pm 1 + i \cdot 0 = \pm 1;
\)

Ответ: \(-1, 1\)
(В учебнике дан неверный ответ).

Даны корни \(n\)-ой степени из числа \(1\): \(e_0, e_1, e_2, \dots, e_{n-1}\);

1) В тригонометрической форме:

Сначала найдем модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.
\)

Теперь определим аргумент \(\varphi\):

\(
\cos \varphi = \frac{1}{1} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{1} = 0.
\)

Таким образом, мы можем записать число \(1\) в тригонометрической форме:

\(
1 = \cos 0 + i \sin 0.
\)

Теперь запишем корни \(n\)-ой степени из числа \(1\):

\(
e_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1.
\)

2) Произведение данных чисел:

Сначала найдем сумму аргументов всех корней:

\(
\theta = 0 + \frac{2\pi}{n} + \frac{4\pi}{n} + \dots + \frac{2\pi (n-1)}{n}.
\)

Это можно записать как:

\(
\theta = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{2\pi k}{n}.
\)

Сумма арифметической прогрессии:

\(
\theta = \frac{2\pi}{n} \left(0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1)\right).
\)

Сумма первых \(n-1\) натуральных чисел равна:

\(
0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}.
\)

Таким образом, мы можем выразить \(\theta\):

\(
\theta = \frac{2\pi}{n} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{\pi(n-1)}{n} n = \pi(n-1).
\)

Теперь найдем произведение корней:

\(
D = e_0 \cdot e_1 \cdot e_2 \cdot \dots \cdot e_{n-1}.
\)

Используя формулу для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме, мы получаем:

\(
D = \cos(\theta) + i \sin(\theta).
\)

Подставляя значение \(\theta\):

\(
D = \cos(\pi(n-1)) + i \sin(\pi(n-1)).
\)

Так как \(n-1\) — целое число, то:

\(
D = (-1)^{n-1} + i \cdot 0 = \pm 1.
\)

Ответ: \(-1, 1\).
(В учебнике дан неверный ответ).