ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть \( e_0, e_1, \ldots, e_{n-1} \) — корни \( n \)-й степени из числа 1. Найдите сумму

\(
e_0 + e_1 + \ldots + e_{n-1}.
\)

1) В тригонометрической форме:
\(
r = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{1}{1} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{1} = 0;
\)
\(
1 = \cos 0 + i \sin 0;
\)
\(
e_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n};
\)
\(
a = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n};
\)

2) Сумма всех данных чисел:
\(
a^n = 1, \quad a^n — 1 = 0;
\)
\(
(a — 1)(1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^{n-1}) = 0;
\)
\(
a \neq 1, \quad 1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^{n-1} = 0;
\)
\(
\cos 0 + i \sin 0 + \dots + \cos \frac{2\pi (n-1)}{n} + i \sin \frac{2\pi (n-1)}{n} = 0;
\)
\(
e_0 + e_1 + e_2 + \dots + e_{n-1} = 0;
\)

Ответ: \(0\).

Даны корни \(n\)-ой степени из числа \(1\): \(e_0, e_1, e_2, \dots, e_{n-1}\);

1) В тригонометрической форме:

Сначала найдем модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.
\)

Теперь определим аргумент \(\varphi\):

\(
\cos \varphi = \frac{1}{1} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{1} = 0.
\)

Таким образом, мы можем записать число \(1\) в тригонометрической форме:

\(
1 = \cos 0 + i \sin 0.
\)

Теперь запишем корни \(n\)-ой степени из числа \(1\):

\(
e_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1.
\)

Также запишем значение \(a\):

\(
a = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}.
\)

2) Сумма всех данных чисел:

Поскольку \(a\) является корнем \(n\)-ой степени из числа \(1\), мы имеем:

\(
a^n = 1.
\)

Это можно переписать как:

\(
a^n — 1 = 0.
\)

Факторизуем это уравнение:

\(
(a — 1)(1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^{n-1}) = 0.
\)

Так как \(a \neq 1\) для всех корней, кроме \(e_0\), мы можем утверждать:

\(
1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^{n-1} = 0.
\)

Теперь подставим значения для всех корней:

\(
\cos 0 + i \sin 0 + \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n} + \dots + \cos \frac{2\pi (n-1)}{n} + i \sin \frac{2\pi (n-1)}{n} = 0.
\)

Таким образом, мы можем записать сумму всех корней:

\(
e_0 + e_1 + e_2 + \dots + e_{n-1} = 0.
\)

Ответ: \(0\).