ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все такие действительные \( x \) и \( y \), что

\(
(x + yi)^4 = x — yi.
\)

Найти все числа \(x\) и \(y\):
\((x + yi)^4 = x — yi;\)
\((x + yi)^5 = (x — yi)(x + yi);\)
\((x + yi)^5 = x^2 + y^2;\)
\(z = x + yi, \, z^5 = x^2 + y^2;\)

1) Первое решение:
\(z = 0, \, x = 0, \, y = 0;\)

2) Второе решение:
\(z^5 = x^2 + y^2 = r^2;\)
\(r = 1, \, z^5 = 1;\)
\(\cos \varphi = 1, \, \sin \varphi = 0;\)
\(z = \sqrt[5]{1} = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5};\)

Ответ:
\((0; 0);\)
\((\cos \frac{2\pi k}{5}, \sin \frac{2\pi k}{5}), \, k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}.\)

Найти все числа \(x\) и \(y\):

Начнем с уравнения:
\(
(x + yi)^4 = x — yi.
\)

Для дальнейшего анализа преобразуем выражение:
\(
(x + yi)^5 = (x — yi)(x + yi).
\)

С правой стороны у нас получается:
\(
(x — yi)(x + yi) = x^2 + y^2.
\)

Таким образом, мы можем записать:
\(
(x + yi)^5 = x^2 + y^2.
\)

Теперь введем обозначение:
\(
z = x + yi.
\)

Тогда у нас есть:
\(
z^5 = x^2 + y^2.
\)

1) Первое решение:
Рассмотрим случай, когда \(z = 0\):
\(
z = 0 — x = 0, \quad y = 0.
\)

Таким образом, одно из решений:
\(
(x, y) = (0, 0).
\)

2) Второе решение:
Теперь рассмотрим случай, когда \(z^5 = x^2 + y^2 = r^2\).
Пусть \(r = |z|\), тогда:
\(
r = 1 — z^5 = 1.
\)

Согласно форме представления комплексных чисел, мы можем записать:
\(
z = \cos \varphi + i \sin \varphi.
\)

При этом для \(z^5 = 1\) получаем:
\(
\cos \varphi = 1, \quad \sin \varphi = 0.
\)

Следовательно, \(z\) можно выразить как:
\(
z = \sqrt[5]{1} = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5},
\)
где \(k\) — целое число.

Таким образом, общее решение имеет вид:
Ответ:
\(
(0; 0);
\)
и
\(
(\cos \frac{2\pi k}{5}, \sin \frac{2\pi k}{5}), \quad k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}.
\)