Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Учащийся доказывает «равенство» \(1 = -1\) так:
\(
1 = \sqrt{(-1)^2} = (\sqrt{-1} — 1)^2 = i^2 = -1.
\)
В чём состоит ошибка учащегося?
Ученик доказывает равенство \(1 = -1:\)
\(1 = \sqrt{(-1)^2} = (\sqrt{-1})^2 = i^2 = -1;\)
Ошибка ученика в том, что он распространил определение и свойства арифметического квадратного корня из неотрицательного действительного числа на комплексные числа:
\(\sqrt{(-1)^2} = 1;\)
На множестве комплексных чисел существуют два значения квадратного корня из числа \((-1)^2:\)
\(1, -1.\)
Ученик доказывает равенство \(1 = -1:\)
\(
1 = \sqrt{(-1)^2} = (\sqrt{-1})^2 = i^2 = -1.
\)
В этом доказательстве ученик делает несколько ошибок, связанных с неправильным использованием свойств квадратного корня и игнорированием особенностей комплексных чисел.
Первое, что следует отметить, это то, что квадратный корень из неотрицательного числа определяется как неотрицательное значение. В частности, для любого действительного числа \(a\), если \(a \geq 0\), то:
\(
\sqrt{a^2} = |a|.
\)
Это означает, что:
\(
\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1.
\)
Таким образом, ученик ошибается, когда утверждает, что \(\sqrt{(-1)^2} = -1\). Для действительных чисел это выражение всегда будет равно \(1\).
Далее, ученик использует следующее преобразование:
\(
(\sqrt{-1})^2 = i^2.
\)
Здесь он предполагает, что \(\sqrt{-1} = i\) и затем подставляет это значение. Однако важно помнить, что на множестве комплексных чисел у числа \(-1\) есть два квадратных корня:
\(
\sqrt{-1} = i \quad \text{и} \quad -i.
\)
Поэтому, если мы рассматриваем квадратный корень из \((-1)^2\), то:
\(
\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \quad \text{или} \quad -1.
\)
Таким образом, правильное выражение должно учитывать оба значения квадратного корня:
\(
\sqrt{(-1)^2} = \pm 1.
\)
Поэтому, когда ученик делает вывод, что:
\(
(\sqrt{-1})^2 = i^2 = -1,
\)
он игнорирует тот факт, что:
\(
(\sqrt{-1})^2 \text{ может быть либо } i^2 \text{, либо } (-i)^2.
\)
Следовательно, равенство \(1 = -1\) неверно. Оно основано на неправильном применении свойств квадратного корня и не учитывает, что на множестве комплексных чисел существуют два значения квадратного корня из числа \((-1)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.