ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Учащийся доказывает «равенство» \(1 = -1\) так:

\(
1 = \sqrt{(-1)^2} = (\sqrt{-1} — 1)^2 = i^2 = -1.
\)

В чём состоит ошибка учащегося?

Ученик доказывает равенство \(1 = -1:\)
\(1 = \sqrt{(-1)^2} = (\sqrt{-1})^2 = i^2 = -1;\)

Ошибка ученика в том, что он распространил определение и свойства арифметического квадратного корня из неотрицательного действительного числа на комплексные числа:
\(\sqrt{(-1)^2} = 1;\)

На множестве комплексных чисел существуют два значения квадратного корня из числа \((-1)^2:\)
\(1, -1.\)

Ученик доказывает равенство \(1 = -1:\)

\(
1 = \sqrt{(-1)^2} = (\sqrt{-1})^2 = i^2 = -1.
\)

В этом доказательстве ученик делает несколько ошибок, связанных с неправильным использованием свойств квадратного корня и игнорированием особенностей комплексных чисел.

Первое, что следует отметить, это то, что квадратный корень из неотрицательного числа определяется как неотрицательное значение. В частности, для любого действительного числа \(a\), если \(a \geq 0\), то:

\(
\sqrt{a^2} = |a|.
\)

Это означает, что:

\(
\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1.
\)

Таким образом, ученик ошибается, когда утверждает, что \(\sqrt{(-1)^2} = -1\). Для действительных чисел это выражение всегда будет равно \(1\).

Далее, ученик использует следующее преобразование:

\(
(\sqrt{-1})^2 = i^2.
\)

Здесь он предполагает, что \(\sqrt{-1} = i\) и затем подставляет это значение. Однако важно помнить, что на множестве комплексных чисел у числа \(-1\) есть два квадратных корня:

\(
\sqrt{-1} = i \quad \text{и} \quad -i.
\)

Поэтому, если мы рассматриваем квадратный корень из \((-1)^2\), то:

\(
\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \quad \text{или} \quad -1.
\)

Таким образом, правильное выражение должно учитывать оба значения квадратного корня:

\(
\sqrt{(-1)^2} = \pm 1.
\)

Поэтому, когда ученик делает вывод, что:

\(
(\sqrt{-1})^2 = i^2 = -1,
\)

он игнорирует тот факт, что:

\(
(\sqrt{-1})^2 \text{ может быть либо } i^2 \text{, либо } (-i)^2.
\)

Следовательно, равенство \(1 = -1\) неверно. Оно основано на неправильном применении свойств квадратного корня и не учитывает, что на множестве комплексных чисел существуют два значения квадратного корня из числа \((-1)\).