ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Выразите \(\cos(6a)\) через \(\cos(a)\) и \(\sin(a)\).

1) По формуле Муавра:
\((\cos a + i \sin a)^6 = \cos 6a + i \sin 6a;\)

2) По биному Ньютона:
\((\cos a + i \sin a)^6 = \cos^6 a + 6i \cos^5 a \sin a — 15 \cos^4 a \sin^2 a — \)
\(- 20i \cos^3 a \sin^3 a + 15 \cos^2 a \sin^4 a + 6i \cos a \sin^5 a — \sin^6 a =\)
\((\cos^6 a — 15 \cos^4 a \sin^2 a + 15 \cos^2 a \sin^4 a — \sin^6 a) +\)
\(+ (6i \cos^5 a \sin a — 20i \cos^3 a \sin^3 a + 6i \cos a \sin^5 a);\)

Ответ:
\(\cos 6a = \cos^6 a — 15 \cos^4 a \sin^2 a + 15 \cos^2 a \sin^4 a — \sin^6 a.\)

Выразить \(\cos 6a\) через \(\cos a\) и \(\sin a:\)

1) По формуле Муавра:
\(
(\cos a + i \sin a)^6 = \cos 6a + i \sin 6a.
\)

2) Применим биномиальную теорему для разложения:
\(
(\cos a + i \sin a)^6 = (\cos a)^6 + 6(\cos a)^5(i \sin a) + 15(\cos a)^4(i \sin a)^2 +
\)
\(
(+ 20(\cos a)^3(i \sin a)^3 + 15(\cos a)^2(i \sin a)^4 + 6(\cos a)(i \sin a)^5 + (i \sin a)^6.
\)

Теперь упростим каждое из членов, учитывая, что \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\), \(i^5 = i\), и \(i^6 = -1\):
\(
(\cos a)^6 + 6(\cos a)^5(i \sin a) — 15(\cos a)^4 \sin^2 a — 20(\cos a)^3(i \sin^3 a) +
\)
\(
(+ 15(\cos^2 a)(-\sin^4 a) + 6(\cos a)(i \sin^5 a) — \sin^6 a.
\)

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части:
\(
(\cos^6 a — 15 \cos^4 a \sin^2 a + 15 \cos^2 a \sin^4 a — \sin^6 a) +
\)
\(
(+ (6i \cos^5 a \sin a — 20i \cos^3 a \sin^3 a + 6i \cos a \sin^5 a).
\)

Таким образом, мы можем выделить действительную часть, которая равна \(\cos 6a\):
\(
\cos 6a = \cos^6 a — 15 \cos^4 a \sin^2 a + 15 \cos^2 a \sin^4 a — \sin^6 a.
\)

Ответ:
\(
\cos 6a = \cos^6 a — 15 \cos^4 a \sin^2 a + 15 \cos^2 a \sin^4 a — \sin^6 a.
\)