ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите равенство

\(
\cos\left(\frac{\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{9\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{11\pi}{13}\right) = \frac{1}{2}.
\)

1) Пусть \(a = \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}\), тогда:
\(
a + a^3 + a^5 + \dots + a^{11} = \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13} + \dots + \cos \frac{11\pi}{13} + i \sin \frac{11\pi}{13};
\)

\(
S = a + a^3 + a^5 + \dots + a^{11} = \frac{a((a^2)^6 — 1)}{a^2 — 1} = \frac{a(a^{12} — 1)}{a^2 — 1} = \frac{a^{13} — a}{a^2 — 1};
\)

\(
S = \frac{\cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13} — a}{a^2 — 1} = \frac{-1 — a}{a^2 — 1} = \frac{a + 1}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{1}{1 — a};
\)

\(
S = \frac{1}{1 — \cos \frac{\pi}{13} — i \sin \frac{\pi}{13}} = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}}{(1 — \cos \frac{\pi}{13})^2 — (i \sin \frac{\pi}{13})^2};
\)

\(
S = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}}{1 — 2 \cos \frac{\pi}{13} + \cos^2 \frac{\pi}{13} + \sin^2 \frac{\pi}{13}} = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}}{2 — 2 \cos \frac{\pi}{13}};
\)

2) Рассмотрим действительную часть:
\(
\frac{1 — \cos \frac{\pi}{13}}{2 — 2 \cos \frac{\pi}{13}} = \frac{1}{2}.
\)

Что и требовалось доказать.

1) Начнём с определения комплексного числа:

\(
a = \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13} = e^{i \frac{\pi}{13}}.
\)

Теперь рассмотрим сумму:

\(
S = a + a^3 + a^5 + a^7 + a^9 + a^{11}.
\)

Эта сумма представляет собой сумму нечетных степеней \(a\) от 1 до 11. Мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

\(
S = a + a^3 + a^5 + \dots + a^{11} = \frac{a((a^2)^6 — 1)}{a^2 — 1}.
\)

Теперь подставим \(a^2\):

\(
S = \frac{a(a^{12} — 1)}{a^2 — 1}.
\)

Так как \(a^{13} = e^{i \pi} = -1\), то \(a^{12} = -\frac{1}{a}\). Таким образом, мы получаем:

\(
S = \frac{a(-1 — a)}{a^2 — 1} = \frac{-a — a^2}{a^2 — 1}.
\)

Теперь упростим это выражение:

\(
S = \frac{-(a + 1)}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{1}{1 — a}.
\)

Теперь выразим \(S\) в терминах \(a\):

\(
S = \frac{1}{1 — \left(\cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}\right)}.
\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число:

\(
S = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}}{(1 — \cos \frac{\pi}{13})^2 + \sin^2 \frac{\pi}{13}}.
\)

В знаменателе используем тригонометрическую идентичность:

\(
\sin^2 x + \cos^2 x = 1,
\)

тогда:

\(
S = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}}{1 — 2 \cos \frac{\pi}{13} + \cos^2 \frac{\pi}{13} + \sin^2 \frac{\pi}{13}} = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13} + i \sin \frac{\pi}{13}}{2 — 2 \cos \frac{\pi}{13}}.
\)

2) Теперь рассмотрим действительную часть:

\(
\text{Re}(S) = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13}}{2 — 2 \cos \frac{\pi}{13}}.
\)

Упростим это выражение:

\(
\text{Re}(S) = \frac{1 — \cos \frac{\pi}{13}}{2(1 — \cos \frac{\pi}{13})} = \frac{1}{2}.
\)

Таким образом, мы доказали требуемое равенство:

\(
\cos \frac{\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} + \cos \frac{7\pi}{13} + \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{11\pi}{13} = \frac{1}{2}.
\)