ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите произведение комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \), если:

1)
\(
z_1 = 6 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right), \quad z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);
\)

2)
\(
z_1 = 7 \left( \cos \frac{1}{3} + i \sin \frac{1}{3} \right), \quad z_2 = 3 \left( \cos \left(-\frac{1}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{1}{4}\right) \right);
\)

3)
\(
z_1 = -3 \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right), \quad z_2 = -4 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right).
\)

1)
\(
z_1 = 6 \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right), \quad z_2 = 2 \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right);
\)

\(
r = 6 \cdot 2 = 12, \quad \varphi = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi;
\)

\(
z = 12 \left(\cos \pi + i \sin \pi\right) = 12 (-1 + 0i) = -12;
\)

Ответ: \(-12\).

2)
\(
z_1 = 7 \left(\cos \frac{1}{3} + i \sin \frac{1}{3}\right), \quad z_2 = 3 \left(\cos \left(-\frac{1}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{1}{4}\right)\right);
\)

\(
r = 7 \cdot 3 = 21, \quad \varphi = \frac{1}{3} — \frac{1}{4} = \frac{4}{12} — \frac{3}{12} = \frac{1}{12};
\)

Ответ:
\(
21 \left(\cos \frac{1}{12} + i \sin \frac{1}{12}\right).
\)

3)
\(
z_1 = -3 \left(\cos \frac{\pi}{12} — i \sin \frac{\pi}{12}\right), \quad z_2 = -4 \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right);
\)

\(
z_1 = 3 \left(\cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}\right), \quad z_2 = 4 \left(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}\right);
\)

\(
r = 3 \cdot 4 = 12, \quad \varphi = \frac{11\pi}{12} + \frac{7\pi}{4} = \frac{11\pi}{12} + \frac{21\pi}{12} = \frac{32\pi}{12} = \frac{8\pi}{3};
\)

\(
z = 12 \left(\cos \frac{8\pi}{3} + i \sin \frac{8\pi}{3}\right) = 12 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) = -6 + 6i \sqrt{3};
\)

Ответ: \(-6 + 6i \sqrt{3}\).

Найти произведение чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

1)
\(
z_1 = 6 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right), \quad z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right).
\)

Сначала найдем модуль и аргумент произведения:

\(
r = 6 \cdot 2 = 12, \quad \varphi = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi.
\)

Теперь запишем результат в тригонометрической форме:

\(
z = 12 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 12 (-1 + 0i) = -12.
\)

Ответ: \(-12\).

2)
\(
z_1 = 7 \left( \cos \frac{1}{3} + i \sin \frac{1}{3} \right), \quad z_2 = 3 \left( \cos \left(-\frac{1}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{1}{4}\right) \right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент произведения:

\(
r = 7 \cdot 3 = 21, \quad \varphi = \frac{1}{3} — \frac{1}{4} = \frac{4}{12} — \frac{3}{12} = \frac{1}{12}.
\)

Запишем результат:

\(
21 \left( \cos \frac{1}{12} + i \sin \frac{1}{12} \right).
\)

Ответ:
\(
21 \left( \cos \frac{1}{12} + i \sin \frac{1}{12} \right).
\)

3)
\(
z_1 = -3 \left( \cos \frac{\pi}{12} — i \sin \frac{\pi}{12} \right), \quad z_2 = -4 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right).
\)

Сначала выразим \( z_1 \) и \( z_2 \) в стандартной форме:

\(
z_1 = 3 \left( \cos \left( \frac{11\pi}{12} \right) + i \sin \left( \frac{11\pi}{12} \right) \right),
\)
\(
z_2 = 4 \left( \cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) \right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент произведения:

\(
r = 3 \cdot 4 = 12,
\)
\(
\varphi = \frac{11\pi}{12} + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{3}.
\)

Запишем результат:

\(
z = 12 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right).
\)

Значения косинуса и синуса:

\(
z = 12 \left( -\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) = 12 \left( -\frac{1}{2} — i\frac{\sqrt{3}}{2} \right).
\)

Упрощая, получаем:

\(
z = -6 — 6i\sqrt{3}.
\)

Ответ:
\(
-6 — 6i\sqrt{3}.
\)