Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что
\(
\cos^{100}(\varphi) = \frac{1}{2^{99}} \left( \cos(100\varphi) + \binom{100}{1} \cos(98\varphi) + \binom{100}{2} \cos(96\varphi) + \ldots + \binom{100}{50} \right).
\)
Доказать равенство:
\(
\cos^{100} \varphi = \frac{1}{2^{99}} \left( \cos 100\varphi + C_{100} \cos 98\varphi + C_{100} \cos 96\varphi + \dots + C_{50} \right);
\)
1) Пусть \(a = \cos \varphi + i \sin \varphi\), тогда:
\(
\cos^{100} \varphi = \left( a — i \sin \varphi \right)^{100} = \left( \frac{a + \overline{a}}{2} \right)^{100};
\)
2) Согласно биному Ньютона:
\(
\cos^{100} \varphi = \frac{1}{2^{100}} \left( \cos 100\varphi + i \sin 100\varphi + C_{100} \right) + C_{100} \left( \cos 98\varphi + i \sin 98\varphi \right) \cdot
\)
\(
\cdot \left( \cos 99\varphi + i \sin 99\varphi \right) \cdot \left( \cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi) \right)
\)
\(
\left( \cos(-2\varphi) + i \sin(-2\varphi) \right) + \dots + C_{100} \left( \cos(-100\varphi) + i \sin(-100\varphi) \right)
\)
\(
= \frac{1}{2^{100}} \left( \cos 100\varphi + i \sin 100\varphi + C_{100} \right) \left( \cos 98\varphi + i \sin 98\varphi \right) +
\)
\(
+ C_{100} \left( \cos 96\varphi + i \sin 96\varphi \right) + \dots + C_{100} \left( \cos 98\varphi — i \sin 98\varphi \right) +
\)
\(
\left( \cos 100\varphi + i \sin 100\varphi \right);
\)
\(
= \frac{1}{2^{99}} \left( \cos 100\varphi + C_{100} \cos 98\varphi + \dots + C_{50} \right).
\)
Что и требовалось доказать.
Доказать равенство:
\(
\cos^{100} \varphi = \frac{1}{2^{99}} \left( \cos 100\varphi + C_{100} \cos 98\varphi + C_{100} \cos 96\varphi + \dots + C_{50} \right);
\)
1) Пусть
\(
a = \cos \varphi + i \sin \varphi,
\)
тогда:
\(
\cos^{100} \varphi = \left( a — i \sin \varphi \right)^{100} = \left( \frac{a + \overline{a}}{2} \right)^{100}.
\)
2) Согласно биному Ньютона:
\(
\cos^{100} \varphi = \frac{1}{2^{100}} \left( a^{100} + C_{100} a^{99} (-i \sin \varphi) + C_{100} a^{98} (-i \sin \varphi)^{2} + \dots + C_{100} (-i \sin \varphi)^{100} \right).
\)
Здесь \(C_{k}\) обозначает биномиальные коэффициенты. Мы можем выразить \( (-i \sin \varphi)^{k} = (-i)^{k} (\sin^{k} \varphi) \).
Теперь подставим:
\(
= \frac{1}{2^{100}} \left( a^{100} + C_{100} a^{99} (-i \sin \varphi) + C_{100} a^{98} (-i \sin \varphi)^{2} + C_{100} a^{97} (-i \sin \varphi)^{3} + \dots + C_{100} (-i)^{100}\sin^{100}\varphi \right).
\)
Используя формулу Эйлера, мы знаем, что
\(
a^{n} = (\cos \varphi + i \sin \varphi)^{n} = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi).
\)
Таким образом, мы можем переписать выражение как:
\(
= \frac{1}{2^{100}} \left( \cos 100\varphi + i\sin 100\varphi + C_{100} (\cos 99\varphi + i\sin 99\varphi)(-\sin\varphi) + C_{100} (\cos 98\varphi + i\sin 98\varphi)(-\sin^{2}\varphi) + \dots + C_{100} (-i)^{100}\sin^{100}\varphi \right).
\)
Теперь, учитывая, что синус является нечетной функцией, а косинус — четной, мы можем упорядочить члены:
\(
= \frac{1}{2^{100}} \left( \cos 100\varphi + i\sin 100\varphi + C_{100} (\cos 98\varphi + i\sin 98\varphi) + C_{100} (\cos 96\varphi + i\sin 96\varphi) + \dots + C_{50} (\cos 0 + i\sin 0) \right).
\)
Теперь выделим действительную часть:
\(
= \frac{1}{2^{100}} \left( 2(\cos 100\varphi + C_{100} \cos 98\varphi + C_{99} \cos 96\varphi + \dots + C_{50}) \right).
\)
Упрощая, мы получаем:
\(
= \frac{1}{2^{99}} \left( \cos 100\varphi + C_{100} \cos 98\varphi + C_{99} \cos 96\varphi + \dots + C_{50} \right).
\)
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.