ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите такие натуральные числа } x > 18 \text{ и } y > 18, \text{ что } x^2 + y^2 = 37 \cdot 53.
\)

Найти натуральные числа: \(x \geq 18\), \(y \geq 18\);

\(
x^2 + y^2 = 37 \cdot 53;
\)
\(
x^2 + y^2 = (36 + 1)(49 + 4);
\)
\(
x^2 + y^2 = |6 + i|^2 \cdot |7 + 2i|^2;
\)
\(
x^2 + y^2 = |(6 + i)(7 + 2i)|^2;
\)
\(
x^2 + y^2 = |42 + 12i + 7i — 2|^2;
\)
\(
x^2 + y^2 = |40 + 19i|^2;
\)
\(
x^2 + y^2 = 40^2 + 19^2;
\)

Ответ: (19; 40); (40; 19).

Найти натуральные числа \(x\) и \(y\), такие что \(x \geq 18\) и \(y \geq 18\);

Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 + y^2 = 37 \cdot 53.
\)

Мы можем разложить правую часть уравнения:
\(
x^2 + y^2 = (36 + 1)(49 + 4).
\)

Далее, применяя свойства комплексных чисел, мы можем записать:
\(
x^2 + y^2 = |6 + i|^2 \cdot |7 + 2i|^2.
\)

Используя свойства модуля комплексного числа, мы можем выразить это как:
\(
x^2 + y^2 = |(6 + i)(7 + 2i)|^2.
\)

Теперь вычислим произведение:
\(
x^2 + y^2 = |42 + 12i + 7i — 2|^2.
\)

Упрощая, получаем:
\(
x^2 + y^2 = |40 + 19i|^2.
\)

Теперь вычисляем модуль:
\(
x^2 + y^2 = 40^2 + 19^2.
\)

В результате, мы получаем два решения:
Ответ: (19; 40); (40; 19).