ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На доске записаны функции \( y = x + \frac{1}{x} \) и \( y = x^2 \). Если на доске записаны функции \( f \) и \( g \), то разрешается дописать любую из функций:

\(
y = f^2(x), \quad y = f(x) + g(x), \quad y = f(x)g(x), \quad y = cf(x),
\)

где \( c \) — произвольная действительная постоянная. Может ли в результате выполнения нескольких таких действий на доске появиться функция \( y = \frac{1}{x} \)?

На доске записаны функции:
\(
y = x + \frac{1}{x}, \quad y = x^2;
\)

1) Можно ли получить:
\(
y = \frac{1}{x};
\)

2) Значения данных функций:
\(
y(i) = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = -i \in \mathbb{C};
\)
\(
y(i) = i + \frac{1}{i} = i — i = 0 \in \mathbb{R};
\)
\(
y(i) = i^2 = -1 \in \mathbb{R};
\)

3) Если \(f(x) \in \mathbb{R}\) и \(g(x) \in \mathbb{R}\):
\(
y = f^2(x) \in \mathbb{R};
\)
\(
y = f(x) + g(x) \in \mathbb{R};
\)
\(
y = \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{R};
\)
\(
y = c \cdot f(x) \in \mathbb{R};
\)

Ответ: нет.

На доске записаны функции:
\(
y = x + \frac{1}{x}, \quad y = x^2;
\)

1) Рассмотрим вопрос, можно ли получить:
\(
y = \frac{1}{x};
\)

Для этого необходимо выяснить, возможно ли выразить функцию \( \frac{1}{x} \) через операции с уже имеющимися функциями. Поскольку обе начальные функции являются полиномиальными, а \( \frac{1}{x} \) является раціональной функцией, это может быть затруднительно.

2) Теперь рассмотрим значения данных функций при \( x = i \), где \( i \) — мнимая единица:
\(
y(i) = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = -i \in \mathbb{C};
\)
Это значение является комплексным числом.

Следующее значение:
\(
y(i) = i + \frac{1}{i} = i — i = 0 \in \mathbb{R};
\)
Это значение является действительным числом.

Также вычислим:
\(
y(i) = i^2 = -1 \in \mathbb{R};
\)
Это значение также является действительным числом.

3) Если функции \( f(x) \in \mathbb{R} \) и \( g(x) \in \mathbb{R} \), то можно утверждать следующее:
\(
y = f^2(x) \in \mathbb{R};
\)
Поскольку квадрат любого действительного числа остается действительным.

Также:
\(
y = f(x) + g(x) \in \mathbb{R};
\)
Сумма двух действительных чисел также является действительным числом.

Далее:
\(
y = \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{R};
\)
При условии, что \( g(x) \neq 0 \), деление двух действительных чисел также остается действительным.

И наконец:
\(
y = c \cdot f(x) \in \mathbb{R};
\)
Где \( c \) — произвольная действительная константа, произведение действительного числа и функции также будет действительным.

Ответ: нет.