ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(K\) — середина отрезка \(MN\). Медианы треугольника \(BCD\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.

1) Пусть точки заданы векторами:
\(
A = z_1, \quad B = z_2, \quad C = z_3, \quad D = z_4;
\)

2) Определим координаты точек:
\(
M = \frac{z_1 + z_2}{2}, \quad N = \frac{z_3 + z_4}{2};
\)
\(
K = \frac{z_1 + z_2 + z_3 + z_4}{4}, \quad P = \frac{z_2 + z_3 + z_4}{3};
\)

3) Рассмотрим векторы:
\(
\vec{AK} = \frac{z_1 + z_2 + z_3 + z_4}{4} — z_1 = \frac{z_2 + z_3 + z_4 — 3z_1}{4};
\)
\(
\vec{AP} = \frac{z_2 + z_3 + z_4}{3} — z_1 = \frac{z_2 + z_3 + z_4 — 3z_1}{3};
\)

4) Точки \(A\), \(P\) и \(K\) лежат на одной прямой:
\(
\vec{AK} \parallel \vec{AP}, \quad A\ — общее начало векторов;
\)

Что и требовалось доказать.

1) Пусть точки заданы векторами:
\(
A = z_1, \quad B = z_2, \quad C = z_3, \quad D = z_4;
\)

2) Определим координаты точек:
\(
M = \frac{z_1 + z_2}{2}, \quad N = \frac{z_3 + z_4}{2};
\)
Точка \(K\), являющаяся серединой отрезка \(MN\), будет определена как:
\(
K = \frac{M + N}{2} = \frac{\frac{z_1 + z_2}{2} + \frac{z_3 + z_4}{2}}{2} = \frac{z_1 + z_2 + z_3 + z_4}{4};
\)
Теперь определим точку \(P\), которая является точкой пересечения медиан треугольника \(BCD\):
\(
P = \frac{z_2 + z_3 + z_4}{3};
\)

3) Рассмотрим векторы:
Вектор \( \vec{AK} \) можно выразить следующим образом:
\(
\vec{AK} = K — A = \frac{z_1 + z_2 + z_3 + z_4}{4} — z_1 = \frac{z_2 + z_3 + z_4 — 3z_1}{4};
\)
А вектор \( \vec{AP} \) будет равен:
\(
\vec{AP} = P — A = \frac{z_2 + z_3 + z_4}{3} — z_1 = \frac{z_2 + z_3 + z_4 — 3z_1}{3};
\)

4) Чтобы показать, что точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой, необходимо доказать, что векторы \( \vec{AK} \) и \( \vec{AP} \) коллинеарны. Это можно сделать, проверив, что они пропорциональны:
\(
\vec{AK} \parallel \vec{AP}, \quad A \text{ — общее начало векторов.}
\)
Это означает, что существует такое число \(k\), что:
\(
\vec{AK} = k \cdot \vec{AP}.
\)

Таким образом, точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.