ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Даны треугольник АВС и произвольная точка О. Пусть точки Р, Q и R — соответственно точки пересечения медиан треугольников АОВ, ВОС и СОА. Докажите, что точка О и точки пересечения медиан треугольников АВС и PQR лежат на одной прямой.

1) Пусть точки заданы векторами:
\(A = z_1, \, B = z_2, \, C = z_3, \, O = z_4;\)

2) Определим координаты точек:
\(
P = \frac{z_1 + z_4 + z_2}{3}, \quad Q = \frac{z_2 + z_4 + z_3}{3}, \quad R = \frac{z_3 + z_4 + z_1}{3}, \quad M = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3};
\)
\(
N = \frac{P + Q + R}{3} = \frac{2z_1 + 2z_2 + 2z_3 + 3z_4}{9};
\)

3) Рассмотрим векторы:
\(
\vec{ON} = \frac{2z_1 + 2z_2 + 2z_3 + 3z_4}{9} — z_4 = \frac{2(z_1 + z_2 + z_3 — 3z_4)}{9};
\)
\(
\vec{OM} = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} — z_4 = \frac{z_1 + z_2 + z_3 — 3z_4}{3};
\)

4) Точки \(M\), \(N\) и \(O\) лежат на одной прямой:
\(
\vec{ON} \parallel \vec{OM}, \quad O\ — общее начало векторов;
\)

Что и требовалось доказать.

1) Пусть точки заданы векторами:
\(
A = z_1, \quad B = z_2, \quad C = z_3, \quad O = z_4;
\)

2) Определим координаты точек:
Точка \(P\) определяется как среднее значение векторов \(z_1\), \(z_4\) и \(z_2\):
\(
P = \frac{z_1 + z_4 + z_2}{3};
\)
Точка \(Q\) определяется как среднее значение векторов \(z_2\), \(z_4\) и \(z_3\):
\(
Q = \frac{z_2 + z_4 + z_3}{3};
\)
Точка \(R\) определяется как среднее значение векторов \(z_3\), \(z_4\) и \(z_1\):
\(
R = \frac{z_3 + z_4 + z_1}{3};
\)
Точка \(M\) определяется как среднее значение векторов \(z_1\), \(z_2\) и \(z_3\):
\(
M = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3};
\)
Теперь найдем координаты точки \(N\), которая определяется как среднее значение точек \(P\), \(Q\) и \(R\):
\(
N = \frac{P + Q + R}{3} = \frac{z_1 + z_4 + z_2 + z_2 + z_4 + z_3 + z_3 + z_4 + z_1}{9} = \frac{2z_1 + 2z_2 + 2z_3 + 3z_4}{9};
\)

3) Рассмотрим векторы:
Вектор \( \vec{ON} \) можно выразить следующим образом:
\(
\vec{ON} = N — O = \frac{2z_1 + 2z_2 + 2z_3 + 3z_4}{9} — z_4 = \frac{2(z_1 + z_2 + z_3 — 3z_4)}{9};
\)
А вектор \( \vec{OM} \) будет равен:
\(
\vec{OM} = M — O = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} — z_4 = \frac{z_1 + z_2 + z_3 — 3z_4}{3};
\)

4) Чтобы показать, что точки \(M\), \(N\) и \(O\) лежат на одной прямой, необходимо доказать, что векторы \( \vec{ON} \) и \( \vec{OM} \) коллинеарны, то есть:
\(
\vec{ON} \parallel \vec{OM}, \quad O \text{ — общее начало векторов};
\)

Таким образом, мы можем заключить, что точки \(M\), \(N\) и \(O\) действительно лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.