ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На сторонах АВ и АС треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты ABNM и ACQP. Докажите, что MC перпендикулярно BP.

Дан треугольник \(ABC\):

1) Пусть точки заданы векторами:
\(A = z_1, \, B = z_2, \, C = z_3;\)

2) Найдем вектор \(MC\):
\(\overrightarrow{AM} = i \overrightarrow{AB};\)
\(z_m — z_1 = i(z_2 — z_1);\)
\(z_m = iz_2 — iz_1 + z_1;\)
\(\overrightarrow{MC} = z_3 — iz_2 + iz_1 — z_1;\)

3) Найдем вектор \(BP\):
\(\overrightarrow{iAP} = \overrightarrow{AC};\)
\(i(z_p — z_1) = z_3 — z_1;\)
\(iz_p — iz_1 = z_3 — z_1;\)
\(iz_p = iz_1 + z_3 — z_1;\)
\(z_p = z_1 — z_3i + z_1i;\)
\(\overrightarrow{BP} = z_1 — z_3i + z_1i — z_2;\)

4) Векторы перпендикулярны:
\(i \overrightarrow{BP} = iz_1 + z_3 — z_1 — iz_2 = \overrightarrow{MC};\)
\(\| \overrightarrow{MC} \| = \| \overrightarrow{BP} \|;\)
\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{BP}.\)

Что и требовалось доказать.

Дан треугольник \(ABC\):

1) Пусть точки заданы векторами:
\(
A = z_1, \quad B = z_2, \quad C = z_3;
\)

2) Найдем вектор \(MC\). Для этого определим вектор \(AM\), который равен \(i\) умноженному на вектор \(AB\):
\(
\overrightarrow{AM} = i \overrightarrow{AB};
\)
Вектор \(AB\) можно выразить как:
\(
\overrightarrow{AB} = B — A = z_2 — z_1;
\)
Таким образом, у нас получается:
\(
z_m — z_1 = i(z_2 — z_1);
\)
Перепишем это уравнение, чтобы найти \(z_m\):
\(
z_m = iz_2 — iz_1 + z_1;
\)
Теперь найдем вектор \(MC\):
\(
\overrightarrow{MC} = C — M = z_3 — z_m;
\)
Подставим значение \(z_m\):
\(
\overrightarrow{MC} = z_3 — \left(iz_2 — iz_1 + z_1\right) = z_3 — iz_2 + iz_1 — z_1;
\)

3) Теперь найдем вектор \(BP\). Мы знаем, что:
\(
\overrightarrow{iAP} = \overrightarrow{AC};
\)
Вектор \(AC\) может быть записан как:
\(
\overrightarrow{AC} = C — A = z_3 — z_1;
\)
Тогда у нас есть:
\(
i(z_p — z_1) = z_3 — z_1;
\)
Перепишем это уравнение:
\(
iz_p — iz_1 = z_3 — z_1;
\)
Теперь выразим \(iz_p\):
\(
iz_p = iz_1 + z_3 — z_1;
\)
Итак, мы можем найти \(z_p\):
\(
z_p = z_1 — z_3i + z_1i;
\)
Теперь найдем вектор \(BP\):
\(
\overrightarrow{BP} = P — B = z_p — z_2;
\)
Подставим значение \(z_p\):
\(
\overrightarrow{BP} = (z_1 — z_3i + z_1i) — z_2.
\)

4) Теперь покажем, что векторы перпендикулярны. Для этого рассмотрим:
\(
i \overrightarrow{BP} = i(z_1 — z_3i + z_1i — z_2).
\)
Раскроем скобки:
\(
= iz_1 — iz_3i + iz_1i — iz_2.
\)
Учитывая, что \(i^2 = -1\), получаем:
\(
= iz_1 + z_3 — z_1 — iz_2.
\)
Мы видим, что:
\(
i \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{MC};
\)

Таким образом, длины векторов равны:
\(
\| \overrightarrow{MC} \| = \| \overrightarrow{BP} \|;
\)
Итак, мы можем заключить, что:
\(
\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{BP}.
\)

Что и требовалось доказать.