ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На сторонах ВС и АС треугольника АВС во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ВСК и САМ. Найдите угол между прямыми ВМ и АК и докажите, что ВМ=АК.

Дан треугольник \(ABC\):

1) Пусть точки заданы векторами:
\(A = z_1, \, B = z_2, \, C = z_3;\)

2) Найдем вектор \(BM\):
\(\overrightarrow{AM} = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \overrightarrow{AC};\)
\(z_m — z_1 = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)(z_3 — z_1);\)
\(z_m = \frac{1}{2} z_3 — \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i + \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 i + z_1;\)
\(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} z_3 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 i — z_2;\)

3) Найдем вектор \(AK\):
\(\overrightarrow{BK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \overrightarrow{BC};\)
\(z_k — z_2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)(z_3 — z_2);\)
\(z_k = \frac{1}{2} z_3 — \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i + z_2;\)
\(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} z_3 + \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i — z_1;\)

4) Угол между векторами:
\(
z = \frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{AK}} =
\frac{\frac{1}{2} z_3 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 i — z_2}{\frac{1}{2} z_3 + \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i — z_1};
\)
\(
z = \frac{\left(-\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \left(\frac{1}{2} z_3 + \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i — z_1\right)}{\frac{1}{2} z_3 + \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i — z_1};
\)
\(
z = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i, \quad \cos \alpha = -\frac{1}{2}, \quad \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
\alpha_1 = \frac{4\pi}{3} = 120^\circ, \quad \alpha_2 = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ;
\)
\(
|\overrightarrow{BM}| = |\overrightarrow{AK}|, \quad \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AK}.
\)

Ответ: \(60^\circ\).

1. Задание точек треугольника
Точки треугольника \(A, B, C\) задаются комплексными числами:
\(
A = z_1, \, B = z_2, \, C = z_3.
\)
Комплексные числа здесь используются для удобного представления координат точек на плоскости.

2. Нахождение вектора \(\overrightarrow{BM}\)
Точка \(M\) лежит на стороне \(AC\) и делит её в отношении, задаваемом коэффициентом \(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\).
Вектор \(\overrightarrow{AM}\) выражается через вектор \(\overrightarrow{AC}\):
\(
\overrightarrow{AM} = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \overrightarrow{AC}.
\)
Переходя к записи через комплексные числа:
\(
z_m — z_1 = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)(z_3 — z_1),
\)
где \(z_m\) — комплексная координата точки \(M\). Раскроем скобки:
\(
z_m = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) z_3 — \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) z_1 + z_1.
\)
Теперь преобразуем выражение:
\(
z_m = \frac{1}{2} z_3 — \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i + \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 i + z_1.
\)
Вектор \(\overrightarrow{BM}\) находится как разность комплексных координат \(z_m\) и \(z_2\):
\(
\overrightarrow{BM} = z_m — z_2.
\)
Подставляем выражение для \(z_m\):
\(
\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} z_3 — \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i + \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 i + z_1 — z_2.
\)
Сгруппируем:
\(
\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} z_3 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 i — z_2.
\)

3. Нахождение вектора \(\overrightarrow{AK}\)
Точка \(K\) лежит на стороне \(BC\) и делит её в отношении, задаваемом коэффициентом \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\).
Вектор \(\overrightarrow{BK}\) выражается через вектор \(\overrightarrow{BC}\):
\(
\overrightarrow{BK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \overrightarrow{BC}.
\)
Переходя к записи через комплексные числа:
\(
z_k — z_2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)(z_3 — z_2),
\)
где \(z_k\) — комплексная координата точки \(K\). Раскроем скобки:
\(
z_k = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) z_3 — \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) z_2 + z_2.
\)
Теперь преобразуем выражение:
\(
z_k = \frac{1}{2} z_3 — \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i + z_2.
\)
Вектор \(\overrightarrow{AK}\) находится как разность комплексных координат \(z_k\) и \(z_1\):
\(
\overrightarrow{AK} = z_k — z_1.
\)
Подставляем выражение для \(z_k\):
\(
\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} z_3 — \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i + z_2 — z_1.
\)
Сгруппируем:
\(
\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} z_3 + \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i — z_1.
\)

4. Нахождение угла между векторами \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{AK}\)
Угол между двумя векторами можно найти через отношение их комплексных координат:
\(
z = \frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{AK}}.
\)
Подставляем найденные выражения для \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{AK}\):
\(
z = \frac{\frac{1}{2} z_3 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 i — z_2}{\frac{1}{2} z_3 + \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} z_3 i — \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 i — z_1}.
\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя, чтобы упростить дробь. После вычислений получаем:
\(
z = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i.
\)
Комплексное число \(z\) соответствует повороту. Его аргумент определяет угол между векторами:
\(
\cos \alpha = -\frac{1}{2}, \quad \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
\)
По формулам тригонометрии вычисляем угол:
\(
\alpha_1 = \frac{4\pi}{3} = 120^\circ, \quad \alpha_2 = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ.
\)

5. Проверка равенства модулей векторов
Заметим, что модули векторов \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{AK}\) равны:
\(
|\overrightarrow{BM}| = |\overrightarrow{AK}|.
\)
Также направления этих векторов совпадают:
\(
\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AK}.
\)

Ответ:
Угол между векторами равен:
\(
60^\circ.
\)