ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На прямой l взяты последовательно точки А, В и С, а на отрезках АВ и АС в различных полуплоскостях относительно прямой l построены равносторонние треугольники ABD и ACN. Докажите, что середины К и L соответственно отрезков DC и BN и точка А являются вершинами равностороннего треугольника.

Дана прямая \(l\) и точки \(A, B, C\):

1) Пусть точки заданы векторами:
\(A = z_1, B = z_2 = a z_1, C = z_3 = b z_1\);

2) Найдём точку \(K\):
\(\overrightarrow{BD} = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \overrightarrow{BA};\)
\(z_d — a z_1 = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(z_1 — a z_1);\)
\(z_d = \frac{1}{2} z_1 — \frac{1}{2} a z_1 — \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i a z_1 + a z_1;\)
\(z_d = \frac{1}{2} (a + 1) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i (a — 1) z_1;\)
\(z_k = \frac{1}{4} (a + 2b + 1) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{4} i (a — 1) z_1;\)
\(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4} (a + 2b — 3) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{4} i (a — 1) z_1.\)

3) Найдём точку \(L\):
\(
\overrightarrow{AN} = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \overrightarrow{AC};
z_n — z_1 = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(b z_1 — z_1);
\)
\(
z_n = \frac{1}{2} b z_1 — \frac{1}{2} z_1 — \frac{\sqrt{3}}{2} i b z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1 + z_1;
\)
\(
z_n = \frac{1}{2} (b + 1) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{2} i (b — 1) z_1;
\)
\(
z_l = \frac{1}{4} (b + 2a + 1) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{4} i (b — 1) z_1;
\)
\(
\overrightarrow{AL} = \frac{1}{4} (b + 2a — 3) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{4} i (b — 1) z_1.
\)

4) Угол между векторами:
\(
\overrightarrow{AK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \cdot \overrightarrow{AL};
\)
\(
\overrightarrow{AK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \cdot \left(\frac{1}{4} (b + 2a — 3) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{4} i (b — 1) z_1\right);
\)
\(
\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4} (a + 2b — 3) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{4} i (a — 1) z_1;
\)
\(
\angle (\overrightarrow{AK}, \overrightarrow{AL}) = 60^\circ, \quad |\overrightarrow{AK}| = |\overrightarrow{AL}|, \quad \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AL}.
\)

Дана прямая \(l\) и точки \(A, B, C\):

1. Пусть точки заданы векторами:
\(
A = z_1, \quad B = z_2 = a z_1, \quad C = z_3 = b z_1.
\)

2. Найдём точку \(K\):
Вектор \(\overrightarrow{BD}\) выражается через \(\overrightarrow{BA}\) следующим образом:
\(
\overrightarrow{BD} = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \overrightarrow{BA}.
\)

Запишем координаты точки \(D\):
\(
z_d — a z_1 = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(z_1 — a z_1).
\)

Раскроем скобки:
\(
z_d = \frac{1}{2} z_1 — \frac{1}{2} a z_1 — \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i a z_1 + a z_1.
\)

Сгруппируем члены, содержащие \(z_1\):
\(
z_d = \frac{1}{2}(a + 1) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i (a — 1) z_1.
\)

Теперь найдём координаты точки \(K\), которая лежит на середине отрезка \(BD\):
\(
z_k = \frac{1}{2}(z_d + z_b) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(a + 1) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i (a — 1) z_1 + a z_1\right).
\)

Упростим выражение:
\(
z_k = \frac{1}{4}(a + 2b + 1) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{4} i (a — 1) z_1.
\)

Вектор \(\overrightarrow{AK}\) можно записать как:
\(
\overrightarrow{AK} = z_k — z_1 = \frac{1}{4}(a + 2b — 3) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{4} i (a — 1) z_1.
\)

3. Найдём точку \(L\):
Вектор \(\overrightarrow{AN}\) выражается через \(\overrightarrow{AC}\) следующим образом:
\(
\overrightarrow{AN} = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \overrightarrow{AC}.
\)

Запишем координаты точки \(N\):
\(
z_n — z_1 = \left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(b z_1 — z_1).
\)

Раскроем скобки:
\(
z_n = \frac{1}{2} b z_1 — \frac{1}{2} z_1 — \frac{\sqrt{3}}{2} i b z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1 + z_1.
\)

Сгруппируем члены, содержащие \(z_1\):
\(
z_n = \frac{1}{2}(b + 1) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{2} i (b — 1) z_1.
\)

Теперь найдём координаты точки \(L\), которая лежит на середине отрезка \(AN\):
\(
z_l = \frac{1}{2}(z_n + z_a) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(b + 1) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{2} i (b — 1) z_1 + z_1\right).
\)

Упростим выражение:
\(
z_l = \frac{1}{4}(b + 2a + 1) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{4} i (b — 1) z_1.
\)

Вектор \(\overrightarrow{AL}\) можно записать как:
\(
\overrightarrow{AL} = z_l — z_1 = \frac{1}{4}(b + 2a — 3) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{4} i (b — 1) z_1.
\)

4. Найдём угол между векторами:
Для этого используем комплексное умножение. Пусть:
\(
\overrightarrow{AK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \cdot \overrightarrow{AL}.
\)

Подставим выражение для \(\overrightarrow{AL}\):
\(
\overrightarrow{AK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \cdot \left(\frac{1}{4}(b + 2a — 3) z_1 — \frac{\sqrt{3}}{4} i (b — 1) z_1\right).
\)

Раскроем скобки и упростим:
\(
\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}(a + 2b — 3) z_1 + \frac{\sqrt{3}}{4} i (a — 1) z_1.
\)

Так как угол между векторами равен \(60^\circ\), выполняются следующие условия:
\(
\angle (\overrightarrow{AK}, \overrightarrow{AL}) = 60^\circ, \quad |\overrightarrow{AK}| = |\overrightarrow{AL}|, \quad \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AL}.
\)