ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите частное \( \frac{z_1}{z_2} \), если:

1)
\(
z_1 = 8 \left( \cos \frac{7\pi}{10} + i \sin \frac{7\pi}{10} \right), \quad z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right);
\)

2)
\(
z_1 = 6 \left( \sin \frac{\pi}{8} + i \cos \frac{\pi}{8} \right), \quad z_2 = 4 \left( \cos \frac{3\pi}{16} + i \sin \frac{3\pi}{16} \right);
\)

3)
\(
z_1 = -2 \left( \cos 2 + i \sin 2 \right), \quad z_2 = \cos 1 + i \sin 1.
\)

1)
\(
z_1 = 8 \left( \cos \frac{7\pi}{10} + i \sin \frac{7\pi}{10} \right), \quad z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right);
\)

\(
r = \frac{8}{2} = 4, \quad \varphi = \frac{7\pi}{10} — \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{10} — \frac{2\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2};
\)

\(
z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 4 (0 + i) = 4i;
\)

Ответ: \( 4i \).

2)
\(
z_1 = 6 \left( \sin \frac{\pi}{8} + i \cos \frac{3\pi}{8} \right), \quad z_2 = 4 \left( \cos \frac{3\pi}{16} + i \sin \frac{3\pi}{16} \right);
\)

(Возможно, здесь опечатка: \( z_1 \) переписано как тригонометрическое выражение с синусом и косинусом в необычном порядке, далее \( z_1 = 6 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right) \))

\(
r = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad \varphi = \frac{3\pi}{8} — \frac{3\pi}{16} = \frac{6\pi}{16} — \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{16};
\)

Ответ:
\(
\frac{3}{2} \left( \cos \frac{3\pi}{16} + i \sin \frac{3\pi}{16} \right).
\)

3)
\(
z_1 = -2 \left( \cos 2 + i \sin 2 \right), \quad z_2 = \cos 1 + i \sin 1;
\)

\(
z_1 = 2 \left( \cos (\pi + 2) + i \sin (\pi + 2) \right);
\)

\(
r = \frac{2}{1} = 2, \quad \varphi = (\pi + 2) — 1 = \pi + 1;
\)

Ответ:
\(
2 \left( \cos (\pi + 1) + i \sin (\pi + 1) \right).
\)

Найти частное чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

1)
\(
z_1 = 8 \left( \cos \frac{7\pi}{10} + i \sin \frac{7\pi}{10} \right), \quad z_2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5} \right).
\)

Сначала найдем модуль и аргумент частного:

\(
r = \frac{8}{2} = 4, \quad \varphi = \frac{7\pi}{10} — \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{10} — \frac{2\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}.
\)

Теперь запишем результат в тригонометрической форме:

\(
z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 4 (0 + i) = 4i.
\)

Ответ: \( 4i \).

2)
\(
z_1 = 6 \left( \sin \frac{\pi}{8} + i \cos \frac{\pi}{8} \right), \quad z_2 = 4 \left( \cos \frac{3\pi}{16} + i \sin \frac{3\pi}{16} \right).
\)

Здесь возможно опечатка: \( z_1 \) переписано как тригонометрическое выражение с синусом и косинусом в необычном порядке. Правильное выражение должно быть:

\(
z_1 = 6 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент частного:

\(
r = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad \varphi = \frac{3\pi}{8} — \frac{3\pi}{16} = \frac{6\pi}{16} — \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{16}.
\)

Запишем результат:

\(
z = \frac{3}{2} \left( \cos \frac{3\pi}{16} + i \sin \frac{3\pi}{16} \right).
\)

Ответ:
\(
\frac{3}{2} \left( \cos \frac{3\pi}{16} + i \sin \frac{3\pi}{16} \right).
\)

3)
\(
z_1 = -2 \left( \cos 2 + i \sin 2 \right), \quad z_2 = \cos 1 + i \sin 1.
\)

Для упрощения \( z_1 \) запишем его в виде:

\(
z_1 = 2 \left( -\cos 2 — i \sin 2 \right) = 2 \left( \cos (\pi + 2) + i \sin (\pi + 2) \right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент частного:

\(
r = \frac{2}{1} = 2, \quad \varphi = (\pi + 2) — 1 = \pi + 1.
\)

Запишем результат:

\(
z = 2 \left( \cos (\pi + 1) + i \sin (\pi + 1) \right).
\)

Ответ:
\(
2 \left( \cos (\pi + 1) + i \sin (\pi + 1) \right).
\)