ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — равносторонние (порядок вершин указан в направлении движения часовой стрелки). Середины отрезков \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) являются вершинами треугольника. Докажите, что этот треугольник равносторонний.

Даны треугольники ABC и A₁B₁C₁:

1) Пусть точки заданы векторами:
\(A = z_1, \, B = z_2, \, A_1 = z_3, \, B_1 = z_4\);

2) Найдем точки \(M\) и \(N\):
\(
z_m = \frac{z_1 + z_3}{2}, \quad z_n = \frac{z_2 + z_4}{2};
\)
\(
MN = \frac{z_2 + z_4 — z_1 — z_3}{2}.
\)

3) Найдем точку \(K\):
\(
AC = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) AB;
\)
\(
z_c — z_1 = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)(z_2 — z_1);
\)
\(
z_c = \frac{1}{2} z_2 — \frac{1}{2} z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_2 — \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1 + z_1;
\)
\(
z_c = \frac{1}{2} (z_1 + z_2) + \frac{i \sqrt{3}}{2} (z_2 — z_1);
\)
\(
z_c = \frac{1}{2} (z_3 + z_4) + \frac{i \sqrt{3}}{2} (z_4 — z_3);
\)
\(
z_k = \frac{1}{4} (z_1 + z_2 + z_3 + z_4) + \frac{1}{4} (z_2 + z_4 — z_1 — z_3);
\)
\(
\overrightarrow{MK} = \frac{1}{4} (z_2 + z_4 — z_1 — z_3) + \frac{i \sqrt{3}}{4} (z_2 + z_4 — z_1 — z_3);
\)
\(
\overrightarrow{MK} = \frac{(1 + i \sqrt{3})(z_2 + z_4 — z_1 — z_3)}{4}.
\)

4) Угол между векторами:
\(
\overrightarrow{MK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \cdot \overrightarrow{MN};
\)
\(
\overrightarrow{MK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \cdot \frac{z_2 + z_4 — z_1 — z_3}{2};
\)
\(
\overrightarrow{MK} = \frac{(1 + i \sqrt{3})(z_2 + z_4 — z_1 — z_3)}{4}.
\)

\(
\angle (\overrightarrow{MK}, \overrightarrow{MN}) = 60^\circ, \quad |\overrightarrow{MK}| = |\overrightarrow{MN}|, \quad MK = MN.
\)

Даны треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \).

1) Пусть точки заданы векторами:
\(
A = z_1, \quad B = z_2, \quad A_1 = z_3, \quad B_1 = z_4.
\)

2) Найдем точки \( M \) и \( N \):
\(
z_m = \frac{z_1 + z_3}{2}, \quad z_n = \frac{z_2 + z_4}{2}.
\)
Вектор \( MN \) будет равен:
\(
MN = \frac{z_2 + z_4 — z_1 — z_3}{2}.
\)

3) Найдем точку \( K \):
Для нахождения точки \( C \) используем соотношение:
\(
AC = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) AB.
\)
Запишем координаты точки \( C \):
\(
z_c — z_1 = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)(z_2 — z_1).
\)
Раскроем скобки:
\(
z_c = \frac{1}{2} z_2 — \frac{1}{2} z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_2 — \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1 + z_1.
\)
Объединим подобные члены:
\(
z_c = \frac{1}{2} (z_1 + z_2) + \frac{i \sqrt{3}}{2} (z_2 — z_1).
\)
Аналогично для точки \( C_1 \):
\(
z_c = \frac{1}{2} (z_3 + z_4) + \frac{i \sqrt{3}}{2} (z_4 — z_3).
\)
Теперь найдем точку \( K \):
\(
z_k = \frac{1}{4} (z_1 + z_2 + z_3 + z_4) + \frac{1}{4} (z_2 + z_4 — z_1 — z_3).
\)
Вектор \( MK \) равен:
\(
\overrightarrow{MK} = \frac{1}{4} (z_2 + z_4 — z_1 — z_3) + \frac{i \sqrt{3}}{4} (z_2 + z_4 — z_1 — z_3).
\)
Объединим:
\(
\overrightarrow{MK} = \frac{(1 + i \sqrt{3})(z_2 + z_4 — z_1 — z_3)}{4}.
\)

4) Угол между векторами:
Запишем соотношение:
\(
\overrightarrow{MK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \cdot \overrightarrow{MN}.
\)
Подставим значение \( \overrightarrow{MN} \):
\(
\overrightarrow{MK} = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \cdot \frac{z_2 + z_4 — z_1 — z_3}{2}.
\)
Раскроем скобки:
\(
\overrightarrow{MK} = \frac{(1 + i \sqrt{3})(z_2 + z_4 — z_1 — z_3)}{4}.
\)
Так как угол между векторами \( MK \) и \( MN \) равен \( 60^\circ \), а длины равны:
\(
\angle (\overrightarrow{MK}, \overrightarrow{MN}) = 60^\circ, \quad |\overrightarrow{MK}| = |\overrightarrow{MN}|, \quad MK = MN.
\)
Таким образом, доказано требуемое.