ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите частное \( \frac{z_1}{z_2} \), если:

1)
\(
z_1 = 12 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right), \quad z_2 = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right);
\)

2)
\(
z_1 = 9 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right), \quad z_2 = -3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right);
\)

3)
\(
z_1 = 15 \left( \cos 6 + i \sin 6 \right), \quad z_2 = 5 \left( \sin 2 + i \cos 2 \right).
\)

1)
\(
z_1 = 12 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right), \quad z_2 = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right);
\)

\(
r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad \varphi = \frac{7\pi}{4} — \frac{3\pi}{8} = \frac{14\pi}{8} — \frac{3\pi}{8} = \frac{11\pi}{8};
\)

Ответ:
\(
\frac{3}{2} \left( \cos \frac{11\pi}{8} + i \sin \frac{11\pi}{8} \right).
\)

2)
\(
z_1 = 9 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right), \quad z_2 = -3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right);
\)

\(
z_2 = 3 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right);
\)

\(
r = \frac{9}{3} = 3, \quad \varphi = \frac{5\pi}{6} — \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} — \frac{8\pi}{6} = -\frac{\pi}{2};
\)

\(
z = 3 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 3 (0 — i) = -3i;
\)

Ответ: \( -3i \).

3)
\(
z_1 = 15 \left( \cos 6 + i \sin 6 \right), \quad z_2 = 5 \left( \sin 2 + i \cos 2 \right);
\)

\(
z_2 = 5 \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2 \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2 \right) \right);
\)

\(
r = \frac{15}{5} = 3, \quad \varphi = 6 — \left( \frac{\pi}{2} — 2 \right) = 8 — \frac{\pi}{2};
\)

Ответ:
\(
3 \left( \cos \left( 8 — \frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( 8 — \frac{\pi}{2} \right) \right).
\)

Найти частное чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

1)
\(
z_1 = 12 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right), \quad z_2 = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right).
\)

Сначала найдем модуль и аргумент частного:

\(
r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad \varphi = \frac{7\pi}{4} — \frac{3\pi}{8} = \frac{14\pi}{8} — \frac{3\pi}{8} = \frac{11\pi}{8}.
\)

Теперь запишем результат в тригонометрической форме:

\(
z = \frac{3}{2} \left( \cos \frac{11\pi}{8} + i \sin \frac{11\pi}{8} \right).
\)

Ответ:
\(
\frac{3}{2} \left( \cos \frac{11\pi}{8} + i \sin \frac{11\pi}{8} \right).
\)

2)
\(
z_1 = 9 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right), \quad z_2 = -3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).
\)

Сначала преобразуем \( z_2 \):

\(
z_2 = 3 \left( -1 \cdot \cos \frac{\pi}{3} — i \cdot (-1) \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right) = 3 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент частного:

\(
r = \frac{9}{3} = 3, \quad \varphi = \frac{5\pi}{6} — \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} — \frac{8\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}.
\)

Запишем результат:

\(
z = 3 \left( \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) \right) = 3 (0 — i) = -3i.
\)

Ответ:
\(
-3i.
\)

3)
\(
z_1 = 15 \left( \cos 6 + i \sin 6 \right), \quad z_2 = 5 \left( \sin 2 + i \cos 2 \right).
\)

Применим формулу приведения для \( z_2 \):

\(
z_2 = 5 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} — 2\right) \right).
\)

Теперь найдем модуль и аргумент частного:

\(
r = \frac{15}{5} = 3, \quad \varphi = 6 — \left(\frac{\pi}{2} — 2\right) = 6 + 2 — \frac{\pi}{2} = 8 — \frac{\pi}{2}.
\)

Запишем результат:

\(
z = 3 \left( \cos\left(8 — \frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(8 — \frac{\pi}{2}\right) \right).
\)

Ответ:
\(
3 \left( \cos\left(8 — \frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(8 — \frac{\pi}{2}\right) \right).
\)