Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Запишите в тригонометрической форме число \( z \), если:
1)
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right) \right)^{10};
\)
2)
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{18} — i \sin \frac{\pi}{18} \right) \right)^{6};
\)
3)
\(
z = \left( \cos \frac{1}{35} + i \sin \frac{1}{35} \right)^{7}.
\)
1)
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right) \right)^{10};
\)
\(
z = 2^{10} \cdot \left( \cos \frac{10\pi}{20} + i \sin \frac{10\pi}{20} \right);
\)
\(
z = 1024 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right);
\)
2)
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{18} — i \sin \frac{\pi}{18} \right) \right)^6;
\)
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{18}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{18}\right) \right) \right)^6;
\)
\(
z = (\sqrt{3})^6 \cdot \left( \cos \left(-\frac{6\pi}{18}\right) + i \sin \left(-\frac{6\pi}{18}\right) \right);
\)
\(
z = 27 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right);
\)
3)
\(
z = \left( \cos \frac{1}{35} + i \sin \frac{1}{35} \right)^7;
\)
\(
z = \cos \frac{7}{35} + i \sin \frac{7}{35};
\)
\(
z = \cos \frac{1}{5} + i \sin \frac{1}{5}.
\)
Записать в тригонометрической форме:
1)
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right) \right)^{10}.
\)
Сначала применим формулу для возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме:
\(
z = 2^{10} \cdot \left( \cos \left( 10 \cdot \frac{\pi}{20} \right) + i \sin \left( 10 \cdot \frac{\pi}{20} \right) \right).
\)
Упростим аргумент:
\(
10 \cdot \frac{\pi}{20} = \frac{10\pi}{20} = \frac{\pi}{2}.
\)
Теперь подставим это значение:
\(
z = 2^{10} \cdot \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right).
\)
Вычислим \( 2^{10} \):
\(
2^{10} = 1024.
\)
Также знаем, что:
\(
\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1.
\)
Таким образом, получаем:
\(
z = 1024 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right);
\)
2)
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{18} — i \sin \frac{\pi}{18} \right) \right)^6.
\)
Сначала преобразуем выражение, используя свойство комплексных чисел:
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{18}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{18}\right) \right) \right)^6.
\)
Теперь применим формулу для возведения в степень:
\(
z = (\sqrt{3})^6 \cdot \left( \cos \left( 6 \cdot -\frac{\pi}{18} \right) + i \sin \left( 6 \cdot -\frac{\pi}{18} \right) \right).
\)
Упростим \( (\sqrt{3})^6 \):
\(
(\sqrt{3})^6 = 3^3 = 27.
\)
Теперь упростим аргумент:
\(
6 \cdot -\frac{\pi}{18} = -\frac{6\pi}{18} = -\frac{\pi}{3}.
\)
Подставим это значение:
\(
z = 27 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right).
\)
Зная, что:
\(
\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2},
\)
получаем:
\(
z = 27 \left( \frac{1}{2} — i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right).
\)
Теперь умножим на 27:
\(
z = 27 \cdot \frac{1}{2} — 27i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27}{2} — i\frac{27\sqrt{3}}{2}.
\)
Ответ:
\(
z = \frac{27}{2} — i\frac{27\sqrt{3}}{2}.
\)
3)
\(
z = \left( \cos \frac{1}{35} + i \sin \frac{1}{35} \right)^7.
\)
Применим формулу для возведения в степень:
\(
z = \cos (7 \cdot \frac{1}{35}) + i \sin (7 \cdot \frac{1}{35}).
\)
Упростим аргумент:
\(
7 \cdot \frac{1}{35} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}.
\)
Таким образом, получаем:
\(
z = \cos \frac{1}{5} + i \sin \frac{1}{5}.
\)
Ответ:
\(
z = \cos \frac{1}{5} + i \sin \frac{1}{5}.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.