ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Запишите в тригонометрической форме число \( z \), если:

1)
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right) \right)^{10};
\)

2)
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{18} — i \sin \frac{\pi}{18} \right) \right)^{6};
\)

3)
\(
z = \left( \cos \frac{1}{35} + i \sin \frac{1}{35} \right)^{7}.
\)

1)
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right) \right)^{10};
\)

\(
z = 2^{10} \cdot \left( \cos \frac{10\pi}{20} + i \sin \frac{10\pi}{20} \right);
\)

\(
z = 1024 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right);
\)

2)
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{18} — i \sin \frac{\pi}{18} \right) \right)^6;
\)

\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{18}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{18}\right) \right) \right)^6;
\)

\(
z = (\sqrt{3})^6 \cdot \left( \cos \left(-\frac{6\pi}{18}\right) + i \sin \left(-\frac{6\pi}{18}\right) \right);
\)

\(
z = 27 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right);
\)

3)
\(
z = \left( \cos \frac{1}{35} + i \sin \frac{1}{35} \right)^7;
\)

\(
z = \cos \frac{7}{35} + i \sin \frac{7}{35};
\)

\(
z = \cos \frac{1}{5} + i \sin \frac{1}{5}.
\)

Записать в тригонометрической форме:

1)
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{20} + i \sin \frac{\pi}{20} \right) \right)^{10}.
\)

Сначала применим формулу для возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме:

\(
z = 2^{10} \cdot \left( \cos \left( 10 \cdot \frac{\pi}{20} \right) + i \sin \left( 10 \cdot \frac{\pi}{20} \right) \right).
\)

Упростим аргумент:

\(
10 \cdot \frac{\pi}{20} = \frac{10\pi}{20} = \frac{\pi}{2}.
\)

Теперь подставим это значение:

\(
z = 2^{10} \cdot \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right).
\)

Вычислим \( 2^{10} \):

\(
2^{10} = 1024.
\)

Также знаем, что:

\(
\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1.
\)

Таким образом, получаем:

\(
z = 1024 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right);
\)

2)
\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{18} — i \sin \frac{\pi}{18} \right) \right)^6.
\)

Сначала преобразуем выражение, используя свойство комплексных чисел:

\(
z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{18}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{18}\right) \right) \right)^6.
\)

Теперь применим формулу для возведения в степень:

\(
z = (\sqrt{3})^6 \cdot \left( \cos \left( 6 \cdot -\frac{\pi}{18} \right) + i \sin \left( 6 \cdot -\frac{\pi}{18} \right) \right).
\)

Упростим \( (\sqrt{3})^6 \):

\(
(\sqrt{3})^6 = 3^3 = 27.
\)

Теперь упростим аргумент:

\(
6 \cdot -\frac{\pi}{18} = -\frac{6\pi}{18} = -\frac{\pi}{3}.
\)

Подставим это значение:

\(
z = 27 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right).
\)

Зная, что:

\(
\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2},
\)

получаем:

\(
z = 27 \left( \frac{1}{2} — i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right).
\)

Теперь умножим на 27:

\(
z = 27 \cdot \frac{1}{2} — 27i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27}{2} — i\frac{27\sqrt{3}}{2}.
\)

Ответ:
\(
z = \frac{27}{2} — i\frac{27\sqrt{3}}{2}.
\)

3)
\(
z = \left( \cos \frac{1}{35} + i \sin \frac{1}{35} \right)^7.
\)

Применим формулу для возведения в степень:

\(
z = \cos (7 \cdot \frac{1}{35}) + i \sin (7 \cdot \frac{1}{35}).
\)

Упростим аргумент:

\(
7 \cdot \frac{1}{35} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}.
\)

Таким образом, получаем:

\(
z = \cos \frac{1}{5} + i \sin \frac{1}{5}.
\)

Ответ:
\(
z = \cos \frac{1}{5} + i \sin \frac{1}{5}.
\)