ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Запишите в тригонометрической форме число \( z \), если:

1)
\(
z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24} \right) \right)^{4};
\)

2)
\(
z = \left( -2 \left( \cos \frac{\pi}{15} + i \sin \frac{\pi}{15} \right) \right)^{5}.
\)

1)
\(
z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24} \right) \right)^4;
\)

\(
z = (\sqrt{2})^4 \cdot \left( \cos \frac{4\pi}{24} + i \sin \frac{4\pi}{24} \right);
\)

\(
z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right);
\)

2)
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{15} + i \sin \frac{\pi}{15} \right) \right)^5;
\)

\(
z = 2^5 \cdot \left( \cos \frac{16\pi}{15} + i \sin \frac{16\pi}{15} \right);
\)

\(
z = 32 \left( \cos \frac{16\pi \cdot 5}{15} + i \sin \frac{16\pi \cdot 5}{15} \right);
\)

\(
z = 32 \left( \cos \frac{16\pi}{3} + i \sin \frac{16\pi}{3} \right);
\)

\(
z = 32 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right);
\)

1)
Дано:
\(
z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24} \right) \right)^4
\)

Для возведения комплексного числа в тригонометрической форме в степень используем формулу Муавра:
\(
\left( r (\cos \varphi + i \sin \varphi) \right)^n = r^n \left( \cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi) \right)
\)

Здесь:
\(
r = \sqrt{2}, \quad \varphi = \frac{\pi}{24}, \quad n = 4
\)

Вычисляем:
\(
r^n = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4
\)

Умножаем угол на степень:
\(
n \varphi = 4 \cdot \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}
\)

Итог:
\(
z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)
\)

2)
Дано:
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{15} + i \sin \frac{\pi}{15} \right) \right)^5
\)

Опять используем формулу Муавра с:
\(
r = 2, \quad \varphi = \frac{\pi}{15}, \quad n = 5
\)

Вычисляем модуль в степени:
\(
r^n = 2^5 = 32
\)

Умножаем угол на степень:
\(
n \varphi = 5 \cdot \frac{\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}
\)

Если угол равен \(\frac{\pi}{15}\), тогда:
\(
z = 32 \left( \cos \frac{5\pi}{15} + i \sin \frac{5\pi}{15} \right) = 32 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)
\)

Если же угол был \(\frac{16\pi}{15}\), тогда:
\(
z = \left( 2 \left( \cos \frac{16\pi}{15} + i \sin \frac{16\pi}{15} \right) \right)^5 = 2^5 \left( \cos \left( 5 \cdot \frac{16\pi}{15} \right) + i \sin \left( 5 \cdot \frac{16\pi}{15} \right) \right)
\)

Вычисляем:
\(
2^5 = 32
\)

Угол:
\(
5 \cdot \frac{16\pi}{15} = \frac{80\pi}{15} = \frac{16\pi}{3}
\)

Так как углы в тригонометрической форме определяются по модулю \(2\pi\), упростим:
\(
\frac{16\pi}{3} = 2\pi \cdot \frac{16}{3 \cdot 2} = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = 2\pi \cdot 2 + \frac{4\pi}{3}
\)

Отбрасываем целые обороты \(2\pi \cdot 2\), остаётся:
\(
\frac{4\pi}{3}
\)

Итог:
\(
z = 32 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)
\)