ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1)
\(
(1+i)^{20};
\)

2)
\(
\left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^{9};
\)

3)
\(
(3+4i)^{4};
\)

4)
\(
(1-i)^{12} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^{6};
\)

5)
\(
\frac{(1+i)^{10}}{(\sqrt{3}-i)^{8}}.
\)

1)
\(
(1 + i)^{20} = (1 + 2i — 1)^{10} = 2^{10} \cdot i^8 \cdot i^2 = 1024 \cdot (-1) = -1024;
\)
Ответ: \(-1024\).

2)
\(
\left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^9 = \left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)^9 = \cos(-3\pi) + i \sin(-3\pi) =
\)
\(
= -1 + 0i = -1;
\)
Ответ: \(-1\).

3)
\(
(3 + 4i)^4 = \left(5(\cos \varphi + i \sin \varphi)\right)^4 = 5^4 (\cos 4\varphi + i \sin 4\varphi) =
\)
\(
= 625 (\cos 4\varphi + i \sin 4\varphi);
\)

где
\(
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5;
\)

\(
\cos \varphi = \frac{3}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{4}{5};
\)

\(
\varphi = \arccos \frac{3}{5}.
\)

Ответ:
\(
625 \left( \cos \left( 4 \arccos \frac{3}{5} \right) + i \sin \left( 4 \arccos \frac{3}{5} \right) \right).
\)

4)
\(
(1 — i)^{12} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^6 = (1 — 2i — 1)^6 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)^6 =
\)

\(
= (-2)^6 \cdot i^4 \cdot i^2 \cdot \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = 64 \cdot (-1) \cdot (1 + 0) = -64;
\)

Ответ: \(-64\).

5)
\(
\frac{(1 + i)^{10}}{(\sqrt{3} — i)^8} = \frac{(1 + 2i — 1)^5}{\left( 2 \left( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) \right)^8} =
\)

\(
= \frac{2^5 \cdot i^4 \cdot i}{2^8 \cdot \left( \cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right) \right)} \cdot \frac{1}{2^3 \cdot \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} =
\)

\(
= \frac{i}{4 \left( i \sqrt{3} — 1 \right)} = \frac{i (i \sqrt{3} + 1)}{4(-3 — 1)} = \frac{-\sqrt{3} + i}{-16} = \frac{\sqrt{3} — i}{16};
\)

где
\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2;
\)

\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{2};
\)

Ответ:
\(
\frac{\sqrt{3} — i}{16}.
\)

1)

Рассмотрим выражение \((1 + i)^{20}\).

Сначала упростим основание:

\(
(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i.
\)

Тогда

\(
(1 + i)^{20} = \left((1 + i)^2\right)^{10} = (2i)^{10} = 2^{10} \cdot i^{10}.
\)

Известно, что \(i^4 = 1\), значит

\(
i^{10} = i^{4 \cdot 2 + 2} = (i^4)^2 \cdot i^2 = 1^2 \cdot (-1) = -1.
\)

Следовательно,

\(
(1 + i)^{20} = 2^{10} \cdot (-1) = 1024 \cdot (-1) = -1024.
\)

Ответ: \(-1024\).

2)

Рассмотрим выражение:

\(
\left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^9.
\)

Заметим, что

\(
\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right).
\)

По формуле Муавра:

\(
\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^n = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta).
\)

Применим её:

\(
\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)^9 = \cos\left(-3\pi\right) + i \sin\left(-3\pi\right).
\)

Известно, что \(\cos(-3\pi) = \cos(3\pi) = -1\), а \(\sin(-3\pi) = -\sin(3\pi) = 0\).

Следовательно,

\(
\left(\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^9 = -1 + 0 \cdot i = -1.
\)

Ответ: \(-1\).

3)

Рассмотрим выражение \((3 + 4i)^4\).

Сначала найдём модуль и аргумент числа \(3 + 4i\):

\(
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
\)

Аргумент \(\varphi\) задаётся через косинус и синус:

\(
\cos \varphi = \frac{3}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{4}{5}.
\)

Тогда

\(
3 + 4i = 5 \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right).
\)

Используем формулу Муавра для возведения в степень:

\(
(3 + 4i)^4 = \left(5 (\cos \varphi + i \sin \varphi)\right)^4 = 5^4 \left(\cos 4\varphi + i \sin 4\varphi\right) =
\)
\(
= 625 \left(\cos 4\varphi + i \sin 4\varphi\right).
\)

Ответ:

\(
625 \left( \cos \left( 4 \arccos \frac{3}{5} \right) + i \sin \left( 4 \arccos \frac{3}{5} \right) \right).
\)

4)

Рассмотрим выражение

\(
(1 — i)^{12} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^6.
\)

Сначала упростим \((1 — i)^{12}\).

Обозначим \(z = 1 — i\). Найдём его модуль и аргумент:

\(
|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2},
\)

\(
\arg z = -\frac{\pi}{4} \quad \text{(так как } z = 1 — i \text{ находится в IV четверти)}.
\)

Тогда

\(
(1 — i)^{12} = \left(\sqrt{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)^{12} =
\)
\(
= (\sqrt{2})^{12} \left(\cos \left(-3\pi\right) + i \sin \left(-3\pi\right)\right).
\)

Поскольку \((\sqrt{2})^{12} = (2^{1/2})^{12} = 2^{6} = 64\), а \(\cos(-3\pi) = -1, \sin(-3\pi) = 0\), получаем:

\(
(1 — i)^{12} = 64 \cdot (-1 + 0i) = -64.
\)

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

\(
\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^6 = \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)^6 = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1 + 0i = 1.
\)

Итого произведение:

\(
(1 — i)^{12} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^6 = -64 \cdot 1 = -64.
\)

Ответ: \(-64\).

5)

Рассмотрим выражение

\(
\frac{(1 + i)^{10}}{(\sqrt{3} — i)^8}.
\)

Сначала упростим числитель:

\(
1 + i = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right).
\)

Тогда

\(
(1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left(\cos \frac{10\pi}{4} + i \sin \frac{10\pi}{4}\right) = 2^{5} \left(\cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2}\right).
\)

Поскольку \(\cos \frac{5\pi}{2} = 0\), \(\sin \frac{5\pi}{2} = 1\), получаем:

\(
(1 + i)^{10} = 32 \cdot i.
\)

Теперь знаменатель:

\(
\sqrt{3} — i = 2 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right),
\)

так как

\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2,
\)

\(
\arg = -\frac{\pi}{6}.
\)

Тогда

\(
(\sqrt{3} — i)^8 = 2^8 \left(\cos \left(-\frac{8\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{8\pi}{6}\right)\right) = 256 \left(\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right)\right).
\)

Подставим всё в дробь:

\(
\frac{(1 + i)^{10}}{(\sqrt{3} — i)^8} = \frac{32 i}{256 \left(\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right)\right)} = \frac{i}{8 \left(\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right)\right)}.
\)

Выразим знаменатель в алгебраической форме:

\(
\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2},
\)

\(
\sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\sin \frac{4\pi}{3} = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Значит

\(
\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Поделим числитель и знаменатель на \(8\):

\(
\frac{i}{8 \left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{i}{4 \left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 2} = \frac{i}{4 \left(i \sqrt{3} — 1\right)}.
\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю:

\(
i \sqrt{3} — 1 \quad \Rightarrow \quad -(i \sqrt{3} + 1),
\)

но проще умножить на \(i \sqrt{3} + 1\):

\(
\frac{i}{4 (i \sqrt{3} — 1)} \cdot \frac{i \sqrt{3} + 1}{i \sqrt{3} + 1} = \frac{i (i \sqrt{3} + 1)}{4 \left((i \sqrt{3} — 1)(i \sqrt{3} + 1)\right)}.
\)

В знаменателе произведение разности квадратов:

\(
(i \sqrt{3})^2 — 1^2 = (i^2)(3) — 1 = (-1)(3) — 1 = -3 — 1 = -4.
\)

В числителе:

\(
i (i \sqrt{3} + 1) = i^2 \sqrt{3} + i = -\sqrt{3} + i.
\)

Итого:

\(
\frac{-\sqrt{3} + i}{4 \cdot (-4)} = \frac{-\sqrt{3} + i}{-16} = \frac{\sqrt{3} — i}{16}.
\)

Ответ:

\(
\frac{\sqrt{3} — i}{16}.
\)