ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1)
\(
(1-i)^{14};
\)

2)
\(
\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right)^{15};
\)

3)
\(
\left( \frac{5}{13} — \frac{12}{13} i \right)^{10};
\)

4)
\(
(1+i)^{10} \cdot (\sqrt{3}+i)^{8};
\)

5)
\(
\frac{(1-i)^{14}}{(1+\sqrt{3}i)^{9}}.
\)

1) \((1 — i)^{14} = (1 — 2i — 1)^7 = (-2)^7 \cdot i^4 \cdot i^3 = -128(-i) = 128i;\)
Ответ: \(128i\).

2) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i\right)^{15} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)^{15} = \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i;\)
Ответ: \(i\).

3) \(\left(\frac{5}{13} — \frac{12}{13} i\right)^{10} = (\cos \varphi + i \sin \varphi)^{10} = \cos 10\varphi + i \sin 10\varphi;\)

\(
r = \sqrt{\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169}} = 1;
\)

\(
\cos \varphi = \frac{5}{13}, \quad \sin \varphi = -\frac{12}{13};
\)

\(
\varphi = -\arccos \frac{5}{13}.
\)

Ответ: \(\cos \left(-10 \arccos \frac{5}{13}\right) + i \sin \left(-10 \arccos \frac{5}{13}\right).\)

4) \((1 + i)^{10} \cdot (\sqrt{3} + i)^8 = (1 + 2i — 1)^5 \cdot \left(2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)\right)^8 =\)

\(
= 2^5 \cdot i^4 \cdot i \cdot 2^8 \cdot \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) = 2^{13} \cdot i \cdot \left(-\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) =
\)

\(
= 2^{12} \cdot i \cdot (-1 — i \sqrt{3}) = 4096 \sqrt{3} — 4096 i;
\)

\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2;
\)

\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{2};
\)

Ответ: \(4096 \sqrt{3} — 4096 i.\)

5) \(\frac{(1 — i)^{14}}{(1 + \sqrt{3} i)^9} = \frac{(1 — 2i — 1)^7}{\left(2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)\right)^9} =\)

\(
= \frac{(-2)^7 \cdot i^4 \cdot i^3}{2^9 (\cos 3\pi + i \sin 3\pi)} = \frac{-(-i)}{2^{22} (-1 + 0 i)} = -\frac{i}{4};
\)

\(
r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2;
\)

\(
\cos \varphi = \frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)

Ответ: \(-\frac{i}{4}.\)

1) Найти значение \((1 — i)^{14}\).

Сначала упростим выражение внутри скобок, представим \(1 — i\) в тригонометрической форме.

Комплексное число \(1 — i\) можно записать как

\(
z = 1 — i.
\)

Найдем модуль:

\(
r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.
\)

Найдем аргумент:

\(
\varphi = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4}.
\)

Тогда

\(
z = \sqrt{2} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).
\)

Возводим в степень 14 по формуле Муавра:

\(
z^{14} = \left(\sqrt{2}\right)^{14} \left(\cos \left(14 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(14 \cdot -\frac{\pi}{4}\right)\right).
\)

Вычислим модуль:

\(
\left(\sqrt{2}\right)^{14} = (2^{1/2})^{14} = 2^{7} = 128.
\)

Вычислим аргумент:

\(
14 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{14\pi}{4} = -\frac{7\pi}{2}.
\)

Упростим аргумент, добавляя \(2\pi k\):

\(
-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = -\frac{7\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.
\)

Поэтому

\(
z^{14} = 128 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = 128 (0 + i \cdot 1) = 128 i.
\)

Ответ:

\(
128 i.
\)

2) Найти значение \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i\right)^{15}\).

Заметим, что

\(
\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}, \quad \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}.
\)

Тогда

\(
z = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}.
\)

По формуле Муавра:

\(
z^{15} = \cos \left(15 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(15 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{15\pi}{6} + i \sin \frac{15\pi}{6}.
\)

Упростим угол:

\(
\frac{15\pi}{6} = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}.
\)

Так как \(\cos\) и \(\sin\) периодичны с периодом \(2\pi\), то

\(
z^{15} = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i.
\)

Ответ:

\(
i.
\)

3) Найти значение \(\left(\frac{5}{13} — \frac{12}{13} i\right)^{10}\).

Сначала найдем модуль числа

\(
z = \frac{5}{13} — \frac{12}{13} i.
\)

Модуль:

\(
r = \sqrt{\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(-\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{169} + \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{169}{169}} = 1.
\)

Аргумент \(\varphi\) определим так:

\(
\cos \varphi = \frac{5}{13}, \quad \sin \varphi = -\frac{12}{13}.
\)

Так как синус отрицателен, аргумент находится в четвертой четверти, значит

\(
\varphi = -\arccos \frac{5}{13}.
\)

По формуле Муавра:

\(
z^{10} = \cos (10 \varphi) + i \sin (10 \varphi) = \cos \left(-10 \arccos \frac{5}{13}\right) + i \sin \left(-10 \arccos \frac{5}{13}\right).
\)

Ответ:

\(
\cos \left(-10 \arccos \frac{5}{13}\right) + i \sin \left(-10 \arccos \frac{5}{13}\right).
\)

4) Найти значение \((1 + i)^{10} \cdot (\sqrt{3} + i)^8\).

Разобьем выражение на части.

Первое число:

\(
1 + i.
\)

Модуль:

\(
r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
\)

Аргумент:

\(
\varphi_1 = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}.
\)

По формуле Муавра:

\(
(1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left(\cos \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = 2^5 \left(\cos \frac{10\pi}{4} + i \sin \frac{10\pi}{4}\right).
\)

Упростим угол:

\(
\frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}.
\)

Тогда

\(
(1 + i)^{10} = 32 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = 32 i.
\)

Второе число:

\(
\sqrt{3} + i.
\)

Модуль:

\(
r_2 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.
\)

Аргумент:

\(
\varphi_2 = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}.
\)

По формуле Муавра:

\(
(\sqrt{3} + i)^8 = 2^8 \left(\cos \left(8 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(8 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) = 256 \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right).
\)

Значения тригонометрических функций:

\(
\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Перемножим:

\(
(1 + i)^{10} \cdot (\sqrt{3} + i)^8 = 32 i \cdot 256 \left(-\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8192 i \left(-\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
\)

Раскроем скобки:

\(
= 8192 \left(-\frac{i}{2} — i^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8192 \left(-\frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right),
\)

так как \(i^2 = -1\).

Упростим:

\(
= 8192 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{i}{2}\right) = 4096 \sqrt{3} — 4096 i.
\)

Ответ:

\(
4096 \sqrt{3} — 4096 i.
\)

5) Найти значение \(\frac{(1 — i)^{14}}{(1 + \sqrt{3} i)^9}\).

Сначала упростим числитель:

\(
(1 — i)^{14}.
\)

Как в пункте 1,

\(
(1 — i)^{14} = 128 i.
\)

Теперь знаменатель:

\(
1 + \sqrt{3} i.
\)

Модуль:

\(
r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.
\)

Аргумент:

\(
\varphi = \arctan \frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{\pi}{3}.
\)

По формуле Муавра:

\(
(1 + \sqrt{3} i)^9 = 2^9 \left(\cos \left(9 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(9 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) = 512 \left(\cos 3\pi + i \sin 3\pi\right).
\)

Известно:

\(
\cos 3\pi = -1, \quad \sin 3\pi = 0.
\)

Значит

\(
(1 + \sqrt{3} i)^9 = 512 (-1 + 0 i) = -512.
\)

Теперь вычислим дробь:

\(
\frac{(1 — i)^{14}}{(1 + \sqrt{3} i)^9} = \frac{128 i}{-512} = -\frac{128}{512} i = -\frac{1}{4} i.
\)

Ответ:

\(
-\frac{i}{4}.
\)