Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 15.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите корни \( n \)-й степени из числа \( z \), если:
1) \( z = 3\sqrt{3}\left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right), \quad n = 3; \)
2) \( z = 8\left( \cos\left(\frac{6}{7}\right) + i\sin\left(\frac{6}{7}\right) \right), \quad n = 3; \)
3) \( z = -32i, \quad n = 5; \)
4) \( z = \sqrt{3} + i, \quad n = 4. \)
1) \(z = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right), n = 3\);
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{27} \left(\cos \left(\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right);
\)
\(
\sqrt[3]{z_1} = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{2\pi}{9} + i \sin \frac{2\pi}{9}\right);
\)
\(
\sqrt[3]{z_2} = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{8\pi}{9} + i \sin \frac{8\pi}{9}\right);
\)
\(
\sqrt[3]{z_3} = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{14\pi}{9} + i \sin \frac{14\pi}{9}\right);
\)
2) \(z = 8 \left(\cos \frac{6\pi}{7} + i \sin \frac{6\pi}{7}\right), n = 3\);
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{8} \left(\cos \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{2\pi k}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{2\pi k}{3}\right)\right);
\)
\(
\sqrt[3]{z_1} = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right);
\)
\(
\sqrt[3]{z_2} = 2 \left(\cos \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{2\pi}{3}\right)\right);
\)
\(
\sqrt[3]{z_3} = 2 \left(\cos \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{4\pi}{3}\right)\right);
\)
3) \(z = -32i, n = 5\);
\(
|z| = \sqrt{0^2 + 32^2} = \sqrt{1024} = 32;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{-32}{32} = -1, \sin \varphi = \frac{0}{32} = 0;
\)
\(
z = 32 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right);
\)
\(
\sqrt{5}{z} = \sqrt{5}{32} \left(\cos \left(-\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}\right)\right);
\)
\(
\sqrt{5}{z_1} = 2 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{10}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{10}\right)\right);
\)
\(
\sqrt{5}{z_2} = 2 \left(\cos \frac{3\pi}{10} + i \sin \frac{3\pi}{10}\right);
\)
\(
\sqrt{5}{z_3} = 2 \left(\cos \frac{7\pi}{10} + i \sin \frac{7\pi}{10}\right);
\)
\(
\sqrt{5}{z_4} = 2 \left(\cos \frac{11\pi}{10} + i \sin \frac{11\pi}{10}\right);
\)
\(
\sqrt{5}{z_5} = 2 \left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) = -2i;
\)
4) \(z = \sqrt{3} + i, n = 4;\)
\(
r = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \varphi = \frac{1}{2};
\)
\(
z = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right);
\)
\(
\sqrt{4}{z} = \sqrt{4}{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\right)\right);
\)
\(
\sqrt{4}{z_1} = \sqrt{4}{2} \left(\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24}\right);
\)
\(
\sqrt{4}{z_2} = \sqrt{4}{2} \left(\cos \frac{13\pi}{24} + i \sin \frac{13\pi}{24}\right);
\)
\(
\sqrt{4}{z_3} = \sqrt{4}{2} \left(\cos \frac{25\pi}{24} + i \sin \frac{25\pi}{24}\right);
\)
\(
\sqrt{4}{z_4} = \sqrt{4}{2} \left(\cos \frac{37\pi}{24} + i \sin \frac{37\pi}{24}\right);
\)
1) \( z = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right), n = 3 \)
Для нахождения корней третьей степени числа \( z \), используем формулу:
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{|z|} \left(\cos \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right)\right),
\)
где \( k = 0, 1, 2 \), \( |z| = \sqrt[3]{27} = 3 \), а аргумент \( \varphi = \frac{2\pi}{3} \).
Корни:
\(
\sqrt[3]{z_1} = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{2\pi}{9} + i \sin \frac{2\pi}{9}\right),
\)
\(
\sqrt[3]{z_2} = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{8\pi}{9} + i \sin \frac{8\pi}{9}\right),
\)
\(
\sqrt[3]{z_3} = \sqrt[3]{3} \left(\cos \frac{14\pi}{9} + i \sin \frac{14\pi}{9}\right).
\)
2) \( z = 8 \left(\cos \frac{6\pi}{7} + i \sin \frac{6\pi}{7}\right), n = 3 \)
Аналогично, используем формулу для нахождения корней третьей степени:
\(
\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{|z|} \left(\cos \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right)\right),
\)
где \( |z| = \sqrt[3]{8} = 2 \), \( \varphi = \frac{6\pi}{7} \) и \( k = 0, 1, 2 \).
Корни:
\(
\sqrt[3]{z_1} = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7}\right),
\)
\(
\sqrt[3]{z_2} = 2 \left(\cos \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{2\pi}{3}\right)\right),
\)
\(
\sqrt[3]{z_3} = 2 \left(\cos \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2\pi}{7} + \frac{4\pi}{3}\right)\right).
\)
3) \( z = -32i, n = 5 \)
Сначала вычисляем модуль и аргумент числа \( z \):
\(
|z| = \sqrt{0^2 + (-32)^2} = \sqrt{1024} = 32,
\)
\(
\cos \varphi = \frac{0}{32} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{-32}{32} = -1,
\)
\(
\varphi = -\frac{\pi}{2}.
\)
Теперь \( z \) можно записать в тригонометрической форме:
\(
z = 32 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).
\)
Для нахождения корней пятой степени используем формулу:
\(
\sqrt[5]{z} = \sqrt[5]{|z|} \left(\cos \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right)\right),
\)
где \( |z| = \sqrt[5]{32} = 2 \), \( \varphi = -\frac{\pi}{2} \), \( n = 5 \), \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \).
Корни:
\(
\sqrt[5]{z_1} = 2 \left(\cos \left(-\frac{\pi}{10}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{10}\right)\right),
\)
\(
\sqrt[5]{z_2} = 2 \left(\cos \frac{3\pi}{10} + i \sin \frac{3\pi}{10}\right),
\)
\(
\sqrt[5]{z_3} = 2 \left(\cos \frac{7\pi}{10} + i \sin \frac{7\pi}{10}\right),
\)
\(
\sqrt[5]{z_4} = 2 \left(\cos \frac{11\pi}{10} + i \sin \frac{11\pi}{10}\right),
\)
\(
\sqrt[5]{z_5} = 2 \left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) = -2i.
\)
4) \( z = \sqrt{3} + i, n = 4 \)
Сначала вычисляем модуль и аргумент числа \( z \):
\(
r = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2,
\)
\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{2},
\)
\(
\varphi = \frac{\pi}{6}.
\)
Теперь \( z \) можно записать в тригонометрической форме:
\(
z = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right).
\)
Для нахождения корней четвертой степени используем формулу:
\(
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{|z|} \left(\cos \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}\right)\right),
\)
где \( |z| = \sqrt[4]{2} \), \( \varphi = \frac{\pi}{6} \), \( n = 4 \), \( k = 0, 1, 2, 3 \).
Корни:
\(
\sqrt[4]{z_1} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24}\right),
\)
\(
\sqrt[4]{z_2} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \frac{13\pi}{24} + i \sin \frac{13\pi}{24}\right),
\)
\(
\sqrt[4]{z_3} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \frac{25\pi}{24} + i \sin \frac{25\pi}{24}\right),
\)
\(
\sqrt[4]{z_4} = \sqrt[4]{2} \left(\cos \frac{37\pi}{24} + i \sin \frac{37\pi}{24}\right).
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.