ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:
\(
1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0
\)

Решить уравнение:
\(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0;\)
\((1-z)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6) = 0;\)
\(1 — z^7 = 0, \quad z^7=1, \quad z = \sqrt[7]{1};\)
\(1 = \cos(0) + i \sin(0);\)
\(z = \cos\left(\frac{2\pi k}{7}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{7}\right);\)

Посторонний корень:
\(z = \cos(0) + i \sin(0), \quad k=0;\)

Ответ:
\(z = \cos\left(\frac{2\pi k}{7}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{7}\right), \quad k \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}.\)

Рассмотрим уравнение:

\( 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0. \)

Это уравнение можно преобразовать следующим образом:

\( (1 — z)(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6) = 0. \)

Мы видим, что уравнение разделилось на два множителя. Первый множитель \( 1 — z = 0 \) даёт решение \( z = 1 \). Проверим, является ли это решением исходного уравнения:

\( 1 + 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + 1^5 + 1^6 = 7 \neq 0. \)

Таким образом, \( z = 1 \) — посторонний корень. Теперь рассмотрим второй множитель:

\( 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0. \)

Заметим, что сумма степеней \( z \) от \( z^0 \) до \( z^6 \) является геометрической прогрессией. Сумма членов геометрической прогрессии выражается формулой:

\( S = \frac{1 — z^{n}}{1 — z}, \)

где \( n \) — количество членов прогрессии. В данном случае \( n = 7 \), поэтому:

\( \frac{1 — z^7}{1 — z} = 0. \)

Из этого следует, что:

\( 1 — z^7 = 0 \quad \Rightarrow \quad z^7 = 1. \)

Таким образом, \( z \) является корнем из единицы с порядком \( 7 \). Корни из единицы находятся по формуле:

\( z = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right), \)

где \( n \) — порядок корня, а \( k \) принимает значения \( 0, 1, 2, \dots, n-1 \). В нашем случае \( n = 7 \), поэтому:

\( z = \cos\left(\frac{2\pi k}{7}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{7}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. \)

Теперь исключим посторонний корень \( z = 1 \), который соответствует \( k = 0 \). Остаются корни при \( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \).

Ответ:

\( z = \cos\left(\frac{2\pi k}{7}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{7}\right), \quad k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. \)