ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить уравнение:

\(
z^8 — z^6 + z^4 — z^2 + 1 = 0.
\)

Решить уравнение:
\( z^8 — z^6 + z^4 — z^2 + 1 = 0; \)
\((z^2 + 1)(z^8 — z^6 + z^4 — z^2 + 1) = 0;\)
\( z^{10} + 1 = 0, \quad z^{10} = -1, \quad z = \sqrt[10]{-1}; \)
\( -1 = \cos \pi + i \sin \pi; \)
\( z = \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{10}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{10}\right); \)

Посторонний корень:
\( z^2 = -1 = \cos \pi + i \sin \pi; \)
\( z = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right); \)
\( z = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right), \quad k = 2; \)
\( z = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right), \quad k = 7; \)

Ответ:
\(
z = \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{10}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{10}\right), \quad k \in \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}
\)

Решить уравнение:
\( z^8 — z^6 + z^4 — z^2 + 1 = 0 \)
Заметим, что выражение можно преобразовать следующим образом:
\( (z^2 + 1)(z^8 — z^6 + z^4 — z^2 + 1) = 0 \)
Обозначим \( z^2 + 1 = 0 \). Тогда:
\( z^{10} + 1 = 0 \)
Следовательно:
\( z^{10} = -1 \)
Корни этого уравнения можно записать как:
\( z = \sqrt[10]{-1} \)
Используя формулу Эйлера, представим \(-1\) в тригонометрической форме:
\( -1 = \cos (\pi) + i \sin (\pi) \)
Тогда корни уравнения будут иметь вид:
\( z = \cos (\frac{\pi + 2\pi k}{10}) + i \sin (\frac{\pi + 2\pi k}{10}), \quad k \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} \)

Теперь рассмотрим посторонний корень:
\( z^2 = -1 \)
Представим \(-1\) в тригонометрической форме:
\( z^2 = -1 = \cos (\pi) + i \sin (\pi) \)
Тогда:
\( z = \cos (\frac{\pi}{2} + \pi k) + i \sin (\frac{\pi}{2} + \pi k) \)
При \( k = 2 \):
\( z = \cos (\frac{\pi}{2}) + i \sin (\frac{\pi}{2}) \)
При \( k = 7 \):
\( z = \cos (\frac{3\pi}{2}) + i \sin (\frac{3\pi}{2}) \)

Таким образом, окончательный ответ:
\(
z = \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{10}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{10}\right), \quad k \in \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}
\)