ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите остаток от деления многочлена \( P(x) = x^{120} + 2x^{65} + 2 \) на трёхчлен \( x^2 — x + 1 \).

Найти остаток от деления на трёхчлен:
\( P(x) = x^{120} + 2x^{65} + 2 \), \( x^2 — x + 1 \);

1) Корни уравнения:
\( x^2 — x + 1 = 0 \);
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 \), тогда:
\(
x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3};
\)

2) Выполняется равенство:
\(
P(x) = Q(x)(x^2 — x + 1) + ax + b;
\)
\(
x^{120} = \cos\frac{120\pi}{3} + i\sin\frac{120\pi}{3} = 1;
\)
\(
x^{65} = \cos\frac{65\pi}{3} + i\sin\frac{65\pi}{3} = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i;
\)

\(
1 + 1 — i\sqrt{3} + 2 = a\left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right) + b;
\)
\(
8 — 2i\sqrt{3} = a + a i\sqrt{3} + 2b;
\)
\(
(a + 2b) + a i\sqrt{3} = 8 — 2i\sqrt{3};
\)
\(
a + 2b = 8, \quad a = -2;
\)
\(
2b = 10, \quad b = 5;
\)

Ответ:
\(
-2x + 5.
\)

Найти остаток от деления на трёхчлен:
\(
P(x) = x^{120} + 2x^{65} + 2, \quad x^2 — x + 1.
\)

1. Корни уравнения:
\(
x^2 — x + 1 = 0.
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3.
\)
Так как дискриминант отрицательный, корни комплексные:
\(
x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}.
\)
Положительный корень можно записать в тригонометрической форме:
\(
x = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}.
\)

2. Выполняется равенство:
\(
P(x) = Q(x)(x^2 — x + 1) + ax + b,
\)
где \( Q(x) \) — частное от деления, а \( ax + b \) — остаток.

Для вычисления остатка нужно использовать свойства корней. Подставляем корень \( x = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \) в многочлен \( P(x) \).

Сначала вычислим степени корня:
\(
x^{120} = \cos\frac{120\pi}{3} + i\sin\frac{120\pi}{3}.
\)
Так как угол \( \frac{120\pi}{3} \) кратен \( 2\pi \), то:
\(
x^{120} = \cos(0) + i\sin(0) = 1.
\)

Аналогично для \( x^{65} \):
\(
x^{65} = \cos\frac{65\pi}{3} + i\sin\frac{65\pi}{3}.
\)
Угол \( \frac{65\pi}{3} \) можно упростить, выделив полный оборот:
\(
\frac{65\pi}{3} = 21 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}.
\)
Таким образом:
\(
x^{65} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Теперь подставляем значения в многочлен \( P(x) \):
\(
P(x) = x^{120} + 2x^{65} + 2.
\)
Подставляя \( x^{120} = 1 \) и \( x^{65} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:
\(
P(x) = 1 + 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2.
\)
Раскрывая скобки:
\(
P(x) = 1 + 1 + i\sqrt{3} + 2.
\)
Собираем действительную и мнимую части:
\(
P(x) = 4 + i\sqrt{3}.
\)

С другой стороны, остаток имеет вид:
\(
P(x) = ax + b.
\)
Подставляем корень \( x = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \):
\(
4 + i\sqrt{3} = a\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + b.
\)
Раскрываем скобки:
\(
4 + i\sqrt{3} = \frac{a}{2} + i\frac{a\sqrt{3}}{2} + b.
\)
Сравниваем действительную и мнимую части:
\(
4 = \frac{a}{2} + b, \quad \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
\)
Из второго уравнения:
\(
a = -2.
\)
Подставляем \( a = -2 \) в первое уравнение:
\(
4 = \frac{-2}{2} + b.
\)
\(
4 = -1 + b.
\)
\(
b = 5.
\)

Итак, остаток:
\(
P(x) = -2x + 5.
\)