ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите остаток от деления многочлена \( P(x) = x^{200} — x^{101} + 5 \) на двучлен \( x^2 + 1 \).

Найти остаток от деления на трёхчлен:
\(P(x) = x^{200} — x^{101} + 5,\ x^2 + 1;\)

1) Корни уравнения:
\(x^2 + 1 = 0;\)
\(x^2 = -1;\)
\(x = \sqrt{-1};\)

\(-1 = \cos\pi + i\sin\pi;\)
\(x = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i;\)

2) Выполняется равенство:
\(P(x) = Q(x)(x^2 + 1) + ax + b;\)

\(x^{200} = i^{200} = (-1)^{100} = 1;\)
\(x^{101} = i^{101} = i^{100} \cdot i = i;\)

\(
1 — i + 5 = 0 + ai + b;
\)

\(
b + ai = 6 — i;
\)

\(b = 6,\ a = -1;\)

Ответ:
\(-x + 6.\)

Найти остаток от деления на трёхчлен:
\(P(x) = x^{200} — x^{101} + 5,\ x^2 + 1;\)

1) Корни уравнения:
Рассмотрим уравнение \(x^2 + 1 = 0\).
Отсюда следует, что \(x^2 = -1\).
Таким образом, \(x = \sqrt{-1}\).

Запишем это число в тригонометрической форме:
\(-1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi)\),
следовательно, \(x = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i\).

2) Выполняется равенство:
\(P(x) = Q(x)(x^2 + 1) + ax + b\), где \(Q(x)\) — частное, а \(ax + b\) — остаток.

Теперь подставим \(x = i\) в многочлен \(P(x)\), чтобы найти коэффициенты \(a\) и \(b\):
Воспользуемся тем, что \(x^2 = -1\).

Сначала вычислим \(x^{200}\):
\(
x^{200} = i^{200} = (-1)^{100} = 1.
\)

Далее вычислим \(x^{101}\):
\(
x^{101} = i^{101} = i^{100} \cdot i = 1 \cdot i = i.
\)

Подставим значения \(x^{200}\) и \(x^{101}\) в \(P(x)\):
\(
P(i) = x^{200} — x^{101} + 5 = 1 — i + 5.
\)

С другой стороны, по формуле остатка:
\(
P(i) = ai + b.
\)

Приравниваем:
\(
1 — i + 5 = ai + b.
\)

Разделим на реальные и мнимые части:
\(
b + ai = 6 — i.
\)

Отсюда:
\(
b = 6,\ a = -1.
\)

Таким образом, остаток:
\(
ax + b = -x + 6.
\)

Ответ:
\(-x + 6.\)