ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если комплексное число \( z_0 \) является корнем многочлена \( P \) с действительными коэффициентами, то комплексное число \( \overline{z_0} \) также является корнем многочлена \( P \).

Доказать, что если \(z_0\) является корнем многочлена \(P\), то \(\overline{z_0}\) также им является:

\(
P(z) = a_1z^n + a_2z^{n-1} + \ldots + a_{n-1}z + a_n;
\)

\(
P(\overline{z}) = a_1\overline{z}^n + a_2\overline{z}^{n-1} + \ldots + a_{n-1}\overline{z} + a_n;
\)

\(
P(\overline{z}) = \overline{P(z)};
\)

Если \(P(z_0) = 0\), тогда:

\(
P(\overline{z_0}) = \overline{P(z_0)} = \overline{0} = 0;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Рассмотрим многочлен \(P(z)\) следующего вида:

\(
P(z) = a_1z^n + a_2z^{n-1} + \ldots + a_{n-1}z + a_n,
\)

где \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — коэффициенты многочлена, которые являются действительными числами.

Подставим вместо \(z\) его комплексно-сопряжённое значение \(\overline{z}\). Тогда выражение для \(P(\overline{z})\) будет выглядеть следующим образом:

\(
P(\overline{z}) = a_1\overline{z}^n + a_2\overline{z}^{n-1} + \ldots + a_{n-1}\overline{z} + a_n.
\)

Из свойств комплексного сопряжения известно, что:

1. Сопряжение суммы равно сумме сопряжений:
\(
\overline{x + y} = \overline{x} + \overline{y}.
\)

2. Сопряжение произведения равно произведению сопряжений:
\(
\overline{x \cdot y} = \overline{x} \cdot \overline{y}.
\)

3. Сопряжение степени равно степени сопряжения:
\(
\overline{x^k} = \overline{x}^k.
\)

Используя эти свойства, можно записать:

\(
P(\overline{z}) = \overline{a_1z^n + a_2z^{n-1} + \ldots + a_{n-1}z + a_n}.
\)

То есть:

\(
P(\overline{z}) = \overline{P(z)}.
\)

Теперь предположим, что \(z_0\) является корнем многочлена \(P(z)\), то есть:

\(
P(z_0) = 0.
\)

Тогда, используя полученное выше равенство, можно записать:

\(
P(\overline{z_0}) = \overline{P(z_0)}.
\)

Поскольку \(P(z_0) = 0\), то его комплексно-сопряжённое значение также равно нулю:

\(
\overline{P(z_0)} = \overline{0} = 0.
\)

Таким образом, получаем:

\(
P(\overline{z_0}) = 0.
\)

Это означает, что \(\overline{z_0}\) также является корнем многочлена \(P(z)\).

Что и требовалось доказать.