ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что число \( z = 1 + i \) является корнем уравнения

\(
z^4 — 5z^3 + 13z^2 — 16z + 10 = 0.
\)

Необходимо решить это уравнение.

Дано уравнение четвёртой степени:
\(z^4 — 5z^3 + 13z^2 — 16z + 10 = 0\), \(z = 1 + i\);

1) Уравнение имеет корни:
\(z = 1 + i\), \(z = 1 — i\);
\((z — 1 — i)(z — 1 + i) = 0\);
\((z — 1)^2 — i^2 = 0\);
\(z^2 — 2z + 1 + 1 = 0\);
\(z^2 — 2z + 2 = 0\);

2) Выполним деление:
\(
\begin{array}{r|l}
z^4 — 5z^3 + 13z^2 — 16z + 10 & z^2 — 2z + 2 \\
z^4 — 2z^3 + 2z^2 & \\
\hline
-3z^3 + 11z^2 — 16z + 10 & \\
-3z^3 + 6z^2 — 6z & \\
\hline
5z^2 — 10z + 10 & \\
5z^2 — 10z + 10 & \\
\hline
0 & \\
\end{array}
\)

3) Решим уравнение:
\((z^2 — 2z + 2)(z^2 — 3z + 5) = 0\);
\(D = 3^2 — 4 \cdot 5 = 9 — 20 = -11\), тогда:
\(
z = \frac{3 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{11}}{2};
\)

Ответ:
\(z = 1 + i; 1 — i; \frac{3 + i\sqrt{11}}{2}; \frac{3 — i\sqrt{11}}{2}\).

Дано уравнение четвёртой степени:
\(z^4 — 5z^3 + 13z^2 — 16z + 10 = 0, \quad z = 1 + i\)

1) Уравнение имеет корни:
\(
z = 1 + i, \quad z = 1 — i
\)

Запишем произведение двух корней:
\((z — 1 — i)(z — 1 + i) = 0\)

Применим формулу разности квадратов:
\((z — 1)^2 — i^2 = 0\)

Упростим выражение:
\(z^2 — 2z + 1 — (-1) = 0\)
\(z^2 — 2z + 2 = 0\)

Таким образом, один из множителей уравнения найден:
\(z^2 — 2z + 2\)

2) Выполним деление многочлена четвёртой степени на найденный множитель \(z^2 — 2z + 2\):
\(
\begin{array}{r|l}
z^4 — 5z^3 + 13z^2 — 16z + 10 & z^2 — 2z + 2 \\
z^4 — 2z^3 + 2z^2 & \\
\hline
-3z^3 + 11z^2 — 16z + 10 & \\
-3z^3 + 6z^2 — 6z & \\
\hline
5z^2 — 10z + 10 & \\
5z^2 — 10z + 10 & \\
\hline
0 & \\
\end{array}
\)

В результате деления получаем второй множитель:
\(z^2 — 3z + 5\)

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
\((z^2 — 2z + 2)(z^2 — 3z + 5) = 0\)

3) Решим каждое из двух квадратных уравнений. Первое уравнение:
\(z^2 — 2z + 2 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4\)
Корни:
\(
z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i
\)

Второе уравнение:
\(z^2 — 3z + 5 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 — 20 = -11\)
Корни:
\(
z = \frac{-(-3) \pm \sqrt{-11}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{11}}{2}
\)

Таким образом, все корни уравнения:
\(
z = 1 + i, \quad z = 1 — i, \quad z = \frac{3 + i\sqrt{11}}{2}, \quad z = \frac{3 — i\sqrt{11}}{2}
\)