ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Решите систему уравнений в действительных числах:}
\)

1)
\(
\begin{cases}
xyz = -6, \\
xy + xz + yz = 1, \\
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = -\frac{2}{3}.
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
x + y + z = -1, \\
x^3 + y^3 + z^3 = -25, \\
xy + xz + yz = -5.
\end{cases}
\)

Решить систему уравнений:
1)
\(
xyz = -6
\)
\(
xy + xz + yz = 1
\)
\(
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = -\frac{2}{3}
\)

Третье уравнение:
\(
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = -\frac{2}{3}
\)
\(
z + x + y = -\frac{2}{3}xyz
\)
\(
x + y + z = 4
\)

Рассмотрим многочлен:
\(
z^3 — 4z^2 + z + 6 = 0
\)
\(
(z^3 — 5z^2 + 6z) + (z^2 — 5z + 6) = 0
\)
\(
(z + 1)(z^2 — 3z — 2z + 6) = 0
\)
\(
(z + 1)(z — 2)(z — 3) = 0
\)

\(
z_1 = -1, \quad z_2 = 2, \quad z_3 = 3
\)

Ответ:
(-1; 2; 3), (-1; 3; 2), (2; -1; 3), (2; 3; -1), (3; -1; 2), (3; 2; -1).

\(
x + y + z = -1
\)
2)
\(
x^3 + y^3 + z^3 = -25; \quad xy + xz + yz = -5
\)

Первое уравнение:
\(
x + y + z = -1;
\)
\(
(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + xz + yz) = 1;
\)
\(
x^2 + y^2 + z^2 = 1 — 2 \cdot (-5) = 11;
\)

Рассмотрим многочлен:
\(
z^3 + z^2 — 5z + q = 0;
\)
\(
(x^3 + y^3 + z^3) + (x^2 + y^2 + z^2) — 5(x + y + z) + 3q = 0;
\)
\(
-25 + 11 — 5 \cdot (-1) + 3q = 0, \quad 3q = 9, \quad q = 3;
\)
\(
z^3 + z^2 — 5z + 3 = 0;
\)
\(
(z^3 — 2z^2 + z) + (3z^2 — 6z + 3) = 0;
\)
\(
(z + 3)(z^2 — 2z + 1) = 0;
\)
\(
(z + 3)(z — 1)^2 = 0;
\)
\(
z_1 = -3, \quad z_2 = 1, \quad z_3 = 1;
\)

Ответ:
\((-3; 1; 1); (1; -3; 1); (1; 1; -3)\).

Решим систему уравнений:

1.
\(
xyz = -6
\)
\(
xy + xz + yz = 1
\)
\(
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = -\frac{2}{3}
\)

Третье уравнение:
\(
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = -\frac{2}{3}
\)
Умножим обе части на \(xyz\):
\(
z + x + y = -\frac{2}{3}xyz
\)
Подставим значение \(xyz = -6\):
\(
x + y + z = 4
\)

Рассмотрим многочлен, корни которого равны \(x, y, z\):
\(
z^3 — 4z^2 + z + 6 = 0
\)
Разложим многочлен:
\(
z^3 — 5z^2 + 6z + z^2 — 5z + 6 = 0
\)
Сгруппируем:
\(
(z^3 — 5z^2 + 6z) + (z^2 — 5z + 6) = 0
\)
Вынесем общие множители:
\(
(z + 1)(z^2 — 3z — 2z + 6) = 0
\)
Упростим:
\(
(z + 1)(z — 2)(z — 3) = 0
\)

Корни многочлена:
\(
z_1 = -1, \quad z_2 = 2, \quad z_3 = 3
\)

Рассмотрим перестановки корней, так как \(x, y, z\) могут меняться местами:
Ответ:
\(
(-1; 2; 3), \quad (-1; 3; 2), \quad (2; -1; 3), \quad (2; 3; -1), \quad (3; -1; 2), \quad (3; 2; -1)
\)

Рассмотрим вторую систему уравнений:

\(
x + y + z = -1
\)
\(
x^3 + y^3 + z^3 = -25, \quad xy + xz + yz = -5
\)

Из первого уравнения:
\(
x + y + z = -1
\)
Из второго:
\(
(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + xz + yz) = 1
\)
Подставим значение \(xy + xz + yz = -5\):
\(
x^2 + y^2 + z^2 = 1 — 2 \cdot (-5) = 11
\)

Рассмотрим многочлен, корни которого равны \(x, y, z\):
\(
z^3 + z^2 — 5z + q = 0
\)
Подставим значения из условия:
\(
x^3 + y^3 + z^3 + x^2 + y^2 + z^2 — 5(x + y + z) + 3q = 0
\)
\(
-25 + 11 — 5 \cdot (-1) + 3q = 0
\)
\(
3q = 9, \quad q = 3
\)
Подставим \(q = 3\):
\(
z^3 + z^2 — 5z + 3 = 0
\)
Сгруппируем:
\(
(z^3 — 2z^2 + z) + (3z^2 — 6z + 3) = 0
\)
Вынесем общие множители:
\(
(z + 3)(z^2 — 2z + 1) = 0
\)
Упростим:
\(
(z + 3)(z — 1)^2 = 0
\)

Корни многочлена:
\(
z_1 = -3, \quad z_2 = 1, \quad z_3 = 1
\)

Рассмотрим перестановки корней, так как \(x, y, z\) могут меняться местами:
Ответ:
\(
(-3; 1; 1), \quad (1; -3; 1), \quad (1; 1; -3)
\)