Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Решите систему уравнений в действительных числах:}
\)
1)
\(
\begin{cases}
x + y + z = 2, \\
xy + xz + yz = -1, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}.
\end{cases}
\)
2)
\(
\begin{cases}
x + y + z = 2, \\
x^2 + y^2 + z^2 = 6, \\
x^3 + y^3 + z^3 = 8.
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
x + y + z = 2, \\
xy + xz + yz = -1, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}.
\end{cases}
\)
Третье уравнение:
\(
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}, \quad yz + xz + xy = \frac{1}{2}, \quad xyz = -2.
\)
Рассмотрим многочлен:
\(
z^3 — 2z^2 — z + 2 = 0;
\)
\(
z^2(z — 2) — (z — 2) = 0;
\)
\(
(z — 2)(z^2 — 1) = 0;
\)
\(
(z — 2)(z — 1)(z + 1) = 0.
\)
Корни:
\(
z_1 = -1, \quad z_2 = 1, \quad z_3 = 2.
\)
Ответ:
\(
(-1; 1; 2), \quad (-1; 2; 1), \quad (1; -1; 2), \quad (1; 2; -1), \quad (2; -1; 1), \quad (2; 1; -1).
\)
\(
\begin{cases}
x + y + z = 2, \\
x^2 + y^2 + z^2 = 6, \\
x^3 + y^3 + z^3 = 8.
\end{cases}
\)
Первое уравнение:
\(
x + y + z = 2;
\)
\(
(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + xz + yz) = 6;
\)
\(
xy + xz + yz = \frac{4 — 6}{2} = -1.
\)
Рассмотрим многочлен:
\(
z^3 — 2z^2 — z + q = 0;
\)
\(
(x^3 + y^3 + z^3) — 2(x^2 + y^2 + z^2) — (x + y + z) + 3q = 0;
\)
\(
8 — 2 \cdot 6 — 2 + 3q = 0, \quad 3q = 6, \quad q = 2;
\)
\(
z^3 — 2z^2 — z + 2 = 0;
\)
\(
z^2(z — 2) — (z — 2) = 0;
\)
\(
(z — 2)(z^2 — 1) = 0;
\)
\(
(z — 2)(z — 1)(z + 1) = 0;
\)
\(
z_1 = -1, \quad z_2 = 1, \quad z_3 = 2.
\)
Ответ:
\(
(-1; 1; 2), \quad (-1; 2; 1), \quad (1; -1; 2), \quad (1; 2; -1), \quad (2; -1; 1), \quad (2; 1; -1).
\)
\(
\begin{cases}
x + y + z = 2, \\
xy + xz + yz = -1, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}.
\end{cases}
\)
Третье уравнение:
\(
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}.
\)
Домножим обе части на \(xyz\), чтобы избавиться от дробей:
\(
\frac{yz + xz + xy}{xyz} = \frac{1}{2}.
\)
Отсюда следует:
\(
yz + xz + xy = \frac{xyz}{2}.
\)
Из второго уравнения системы известно, что:
\(
xy + xz + yz = -1.
\)
Подставляя это значение, получаем:
\(
-1 = \frac{xyz}{2}.
\)
Умножим обе части на 2:
\(
xyz = -2.
\)
Теперь рассмотрим многочлен, корнями которого являются \(x\), \(y\), \(z\):
\(
t^3 — (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t — xyz = 0.
\)
Подставляем известные значения \(x + y + z = 2\), \(xy + xz + yz = -1\), \(xyz = -2\):
\(
t^3 — 2t^2 — t + 2 = 0.
\)
Разложим многочлен на множители. Вынесем общий множитель:
\(
t^2(t — 2) — (t — 2) = 0.
\)
Сгруппируем:
\(
(t — 2)(t^2 — 1) = 0.
\)
Разложим \(t^2 — 1\) как разность квадратов:
\(
(t — 2)(t — 1)(t + 1) = 0.
\)
Таким образом, корни многочлена:
\(
t_1 = -1, \quad t_2 = 1, \quad t_3 = 2.
\)
Это значит, что \(x\), \(y\), \(z\) могут принимать значения \(-1\), \(1\), \(2\) в любом порядке.
Ответ:
\(
(-1; 1; 2), \quad (-1; 2; 1), \quad (1; -1; 2), \quad (1; 2; -1), \quad (2; -1; 1), \quad (2; 1; -1).
\)
Теперь рассмотрим другую систему:
\(
\begin{cases}
x + y + z = 2, \\
x^2 + y^2 + z^2 = 6, \\
x^3 + y^3 + z^3 = 8.
\end{cases}
\)
Первое уравнение:
\(
x + y + z = 2.
\)
Используем формулу для суммы квадратов через произведения и суммы:
\(
x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 — 2(xy + xz + yz).
\)
Подставляем \(x + y + z = 2\):
\(
x^2 + y^2 + z^2 = 2^2 — 2(xy + xz + yz).
\)
Из второго уравнения системы известно, что:
\(
x^2 + y^2 + z^2 = 6.
\)
Подставляем:
\(
6 = 4 — 2(xy + xz + yz).
\)
Решаем относительно \(xy + xz + yz\):
\(
2(xy + xz + yz) = 4 — 6.
\)
\(
xy + xz + yz = -1.
\)
Теперь рассмотрим многочлен:
\(
t^3 — (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t — xyz = 0.
\)
Подставляем \(x + y + z = 2\), \(xy + xz + yz = -1\). Чтобы найти \(xyz\), используем третье уравнение системы:
\(
x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)^3 — 3(x + y + z)(xy + xz + yz) + 3xyz.
\)
Подставляем значения:
\(
8 = 2^3 — 3 \cdot 2 \cdot (-1) + 3xyz.
\)
\(
8 = 8 + 6 + 3xyz.
\)
\(
3xyz = 8 — 14.
\)
\(
3xyz = -6.
\)
\(
xyz = -2.
\)
Теперь у нас есть все коэффициенты многочлена:
\(
t^3 — 2t^2 — t + 2 = 0.
\)
Разложим его на множители:
\(
t^2(t — 2) — (t — 2) = 0.
\)
\(
(t — 2)(t^2 — 1) = 0.
\)
\(
(t — 2)(t — 1)(t + 1) = 0.
\)
Корни:
\(
t_1 = -1, \quad t_2 = 1, \quad t_3 = 2.
\)
Ответ:
\(
(-1; 1; 2), \quad (-1; 2; 1), \quad (1; -1; 2), \quad (1; 2; -1), \quad (2; -1; 1), \quad (2; 1; -1).
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.