ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть \( x, y, z \) — действительные числа, такие что:

1. \( s_1 = x + y + z \) является рациональным числом,
2. \( s_2 = xy + xz + yz \) является рациональным числом,
3. \( s_3 = xyz \) является рациональным числом.

Можно ли гарантировать, что среди чисел \( x, y, z \) есть хотя бы одно рациональное число?

О действительных числах \(x, y, z\) известно:
\((x + y + z) \in \mathbb{R}, (xy + xz + yz) \in \mathbb{R}, xyz \in \mathbb{R}\);

Рассмотрим многочлен:
\(t^3 — 5t^2 + t + 4 = 0\);

\(x + y + z = 5 \in \mathbb{R}\);
\(xy + xz + yz = 1 \in \mathbb{R}\);
\(xyz = -4 \in \mathbb{R}\);
\(x, y, z \in \mathbb{Q}\);

Ответ: нет, числа могут быть иррациональными.

О действительных числах \(x, y, z\) известно:
\((x + y + z) \in \mathbb{R}, (xy + xz + yz) \in \mathbb{R}, xyz \in \mathbb{R}\).

Рассмотрим многочлен:
\(
t^3 — 5t^2 + t + 4 = 0.
\)

Коэффициенты многочлена выражаются через суммы и произведения корней:
\(
x + y + z = 5, \quad xy + xz + yz = 1, \quad xyz = -4.
\)

Проверим, могут ли \(x, y, z\) быть рациональными числами. Если \(x, y, z \in \mathbb{Q}\), то многочлен должен иметь рациональные корни.

Применим теорему рациональных корней. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень может быть представлен в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где:
— \(p\) — делитель свободного члена (\(4\)),
— \(q\) — делитель старшего коэффициента (\(1\)).

Свободный член многочлена равен \(4\), а старший коэффициент равен \(1\). Возможные рациональные корни:
\(
\pm 1, \pm 2, \pm 4.
\)

Проверим, подходят ли эти значения. Подставляем их в многочлен \(t^3 — 5t^2 + t + 4 = 0\):

1. Для \(t = 1\):
\(
1^3 — 5 \cdot 1^2 + 1 + 4 = 1 — 5 + 1 + 4 = 1 \neq 0.
\)

2. Для \(t = -1\):
\(
(-1)^3 — 5 \cdot (-1)^2 + (-1) + 4 = -1 — 5 — 1 + 4 = -3 \neq 0.
\)

3. Для \(t = 2\):
\(
2^3 — 5 \cdot 2^2 + 2 + 4 = 8 — 20 + 2 + 4 = -6 \neq 0.
\)

4. Для \(t = -2\):
\(
(-2)^3 — 5 \cdot (-2)^2 + (-2) + 4 = -8 — 20 — 2 + 4 = -26 \neq 0.
\)

5. Для \(t = 4\):
\(
4^3 — 5 \cdot 4^2 + 4 + 4 = 64 — 80 + 4 + 4 = -8 \neq 0.
\)

6. Для \(t = -4\):
\(
(-4)^3 — 5 \cdot (-4)^2 + (-4) + 4 = -64 — 80 — 4 + 4 = -144 \neq 0.
\)

Таким образом, ни один из возможных рациональных корней не обращает многочлен в ноль. Следовательно, многочлен \(t^3 — 5t^2 + t + 4 = 0\) не имеет рациональных корней.

Это означает, что корни \(x, y, z\) могут быть иррациональными числами.

Ответ: нет, числа могут быть иррациональными.