ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
(x + y + z) — 3(xy + xz + yz) + 9xyz = \frac{1}{3}
\)

Докажите, что по крайней мере одно из чисел \( x, y, z \) равно \( \frac{1}{3} \).

О числах \(x, y, z\) известно, что:
\((x + y + z) — 3(xy + xz + yz) + 9xyz = \frac{1}{3}\)

1) Рассмотрим многочлен:
\(
t^3 — pt^2 + qt — r = 0; \quad p — 3q + 9r = \frac{1}{3};
\)

2) Если \(t = \frac{1}{3}\), тогда:
\(
\frac{1}{27} — \frac{1}{9}p + \frac{1}{3}q — r = 0;
\)
\(
\frac{1}{3} — p + 3q — 9r = 0;
\)
\(
p — 3q + 9r = \frac{1}{3}.
\)

Что и требовалось доказать.

О числах \(x, y, z\) известно, что:
\((x + y + z) — 3(xy + xz + yz) + 9xyz = \frac{1}{3}\).

Для доказательства данного равенства рассмотрим многочлен:
\(
t^3 — pt^2 + qt — r = 0,
\)
где \(p, q, r\) — коэффициенты многочлена, которые связаны следующим соотношением:
\(
p — 3q + 9r = \frac{1}{3}.
\)

Теперь предположим, что один из корней многочлена равен \(t = \frac{1}{3}\). Подставим это значение в многочлен:
\(
t^3 — pt^2 + qt — r = 0.
\)

Подставляя \(t = \frac{1}{3}\), получаем:
\(
\left(\frac{1}{3}\right)^3 — p\left(\frac{1}{3}\right)^2 + q\left(\frac{1}{3}\right) — r = 0.
\)

Выполним вычисления для каждого члена:
\(
\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}, \quad p\left(\frac{1}{3}\right)^2 = p \cdot \frac{1}{9}, \quad q\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}q.
\)

Таким образом, уравнение принимает вид:
\(
\frac{1}{27} — \frac{1}{9}p + \frac{1}{3}q — r = 0.
\)

Умножим обе стороны уравнения на 27, чтобы избавиться от дробей:
\(
1 — 3p + 9q — 27r = 0.
\)

Перенесем все члены, содержащие \(p, q, r\), в одну сторону:
\(
3p — 9q + 27r = 1.
\)

Разделим обе стороны уравнения на 3:
\(
p — 3q + 9r = \frac{1}{3}.
\)

Мы получили исходное соотношение, которое связывает коэффициенты многочлена \(p, q, r\):
\(
p — 3q + 9r = \frac{1}{3}.
\)

Это доказывает, что если один из корней многочлена равен \(t = \frac{1}{3}\), то данное равенство выполняется. Что и требовалось доказать.