ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Докажите, что каждый многочлен } P \in \mathbb{R}[x] \text{ степени } n \in \mathbb{N} \text{ с действительными}
\)
\(
\text{ коэффициентами можно разложить на линейные или квадратичные множители.}
\)
с действительными коэффициентами.

Дан многочлен \(P\) степени \(n \in \mathbb{N}\):

1) Если \(n = 1\), тогда:
\(
P(x) = ax + b;
\)

2) Если \(n = 2\), тогда:
\(
P(x) = ax^2 + bx + c;
\)

3) Если \(n = k + 1\), тогда:
\(
x = z_0, \, P(z_0) = 0;
\)

4) Если \(z_0 \in \mathbb{R}\), тогда:
\(
P(z) = (z — z_0)Q(z); \, Q(z) \text{ — многочлен степени } k;
\)

5) Если \(z_0 \notin \mathbb{R}\), тогда:
\(
P(z) = (z — z_0)(z — \overline{z_0})Q(z);
\)
\(
P(z) = (z^2 — (z_0 + \overline{z_0})z + z_0\overline{z_0})Q(z);
\)

\(
z_0 \not= \overline{z_0}, \, z_0\overline{z_0} \in \mathbb{R};
\)
\(
Q(z) \text{ — многочлен степени } k — 1;
\)

Что и требовалось доказать.

Дан многочлен \(P\) степени \(n \in \mathbb{N}\):

1) Если \(n = 1\), то многочлен имеет вид:
\(
P(x) = ax + b
\)
где \(a, b \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\).

2) Если \(n = 2\), то многочлен имеет вид:
\(
P(x) = ax^2 + bx + c
\)
где \(a, b, c \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\).

3) Если \(n = k + 1\), то предполагается, что существует корень \(z_0\), удовлетворяющий условию:
\(
P(z_0) = 0
\)
то есть \(z_0\) является корнем многочлена \(P(z)\).

4) Если корень \(z_0 \in \mathbb{R}\), то многочлен \(P(z)\) раскладывается следующим образом:
\(
P(z) = (z — z_0)Q(z)
\)
где \(Q(z)\) — многочлен степени \(k\).

5) Если корень \(z_0 \notin \mathbb{R}\), то он является комплексным числом. В этом случае его сопряжение \(\overline{z_0}\) также является корнем многочлена \(P(z)\). Тогда многочлен раскладывается следующим образом:
\(
P(z) = (z — z_0)(z — \overline{z_0})Q(z)
\)
или, если раскрыть скобки:
\(
P(z) = (z^2 — (z_0 + \overline{z_0})z + z_0\overline{z_0})Q(z)
\)
где \(z_0 + \overline{z_0} \in \mathbb{R}\) и \(z_0\overline{z_0} \in \mathbb{Р}\).

При этом выполняется условие:
\(
z_0 \neq \overline{z_0}
\)
а \(Q(z)\) — многочлен степени \(k — 1\).

Таким образом, доказано, что многочлен степени \(n\) можно разложить на множители, где каждый множитель соответствует либо линейному выражению, либо квадратному выражению, если корни являются комплексными числами.