ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень.

Дан многочлен \(P\) степени \(n = 2k + 1\):

1) Существуют корни:
\(x = z_0, \, P(z_0) = 0\);

2) Если \(z_0 \in \mathbb{R}\), тогда:
\(P(z) = (z — z_0)Q(z);\)

3) Если \(z_0 \notin \mathbb{R}\), тогда:
\(P(z) = (z — z_0)(z — \overline{z_0})Q(z);\)
\(P(z) = (z^2 — (z_0 + \overline{z_0})z + z_0\overline{z_0})Q(z);\)
\((z_0 + \overline{z_0}) \in \mathbb{R}, \, z_0\overline{z_0} \in \mathbb{R};\)
\(Q(z)\) — многочлен степени \(2k — 1\).

4) Повторяя для \(Q(z)\), получим:
\(Q_n(z)\) — многочлен степени \(1\).

Что и требовалось доказать.

Дан многочлен \(P\) степени \(n = 2k + 1\).

1) Так как степень многочлена нечётная \(n = 2k + 1\), то согласно основным свойствам многочленов, у него существуют корни. Пусть один из корней многочлена \(P\) равен \(z_0\), то есть выполняется равенство:
\(
P(z_0) = 0.
\)

2) Если корень \(z_0\) принадлежит множеству действительных чисел \(z_0 \in \mathbb{R}\), то многочлен \(P(z)\) раскладывается следующим образом:
\(
P(z) = (z — z_0)Q(z),
\)
где \(Q(z)\) — многочлен степени \(n — 1 = 2k\).

3) Если корень \(z_0\) принадлежит множеству комплексных чисел \(z_0 \notin \mathbb{R}\), то вместе с ним корнем многочлена будет его комплексно-сопряжённое число \(\overline{z_0}\). В этом случае многочлен \(P(z)\) раскладывается следующим образом:
\(
P(z) = (z — z_0)(z — \overline{z_0})Q(z),
\)
где \(Q(z)\) — многочлен степени \(n — 2 = 2k — 1\).

Раскроем скобки в выражении \((z — z_0)(z — \overline{z_0})\):
\(
(z — z_0)(z — \overline{z_0}) = z^2 — (z_0 + \overline{z_0})z + z_0\overline{z_0}.
\)

Таким образом, многочлен \(P(z)\) можно записать в виде:
\(
P(z) = (z^2 — (z_0 + \overline{z_0})z + z_0\overline{z_0})Q(z).
\)

При этом:
\(
z_0 + \overline{z_0} \in \mathbb{R}, \quad z_0\overline{z_0} \in \mathbb{R},
\)
так как сумма и произведение комплексно-сопряжённых чисел всегда являются действительными числами.

4) Повторяя процесс разложения для многочлена \(Q(z)\), мы последовательно выделяем корни \(z_1, z_2, \dots, z_k\) (или их комплексно-сопряжённые пары). В результате, после \(k\) шагов разложения, остаётся многочлен степени \(1\), который имеет вид:
\(
Q_n(z) = (z — z_k),
\)
где \(z_k\) — последний корень многочлена.

Таким образом, многочлен \(P(z)\) полностью раскладывается на множители.

Что и требовалось доказать.