ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Существует ли функция \( f(x) \), график которой имеет общую точку с любой параболой вида \( y = ax^2 + bx + c \)?

Дана парабола вида: \(y = ax^2 + bx + c\);

1) Рассмотрим функцию: \(y = x^3\);

2) Есть точки пересечения:
\(
x^3 = ax^2 + bx + c;
x^3 — ax^2 — bx — c;
n = 3, \, x_0 \in \mathbb{R};
\)

Ответ: да.

Дана парабола \(y = ax^2 + bx + c\) и кубическая функция \(y = x^3\). Требуется определить, пересекаются ли графики этих функций.

Шаг 1. Уравнение пересечения
Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем \(y = ax^2 + bx + c\) и \(y = x^3\):
\(
x^3 = ax^2 + bx + c.
\)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение:
\(
x^3 — ax^2 — bx — c = 0.
\)

Шаг 2. Анализ уравнения
Полученное уравнение — это кубическое уравнение, которое имеет степень \(n = 3\). Кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень \(x_0 \in \mathbb{R}\), согласно теореме о корнях многочлена.

Это означает, что графики параболы и кубической функции обязательно пересекаются хотя бы в одной точке.

Шаг 3. Количество точек пересечения
Количество точек пересечения зависит от числа действительных корней кубического уравнения. Уравнение \(x^3 — ax^2 — bx — c = 0\) может иметь:
— \(1\) действительный корень и \(2\) комплексных корня (случай, если графики пересекаются только в одной точке);
— \(3\) действительных корня (случай, если графики пересекаются в трёх точках).

Шаг 4. Вывод
В любом случае, хотя бы одна точка пересечения существует. Следовательно, графики параболы \(y = ax^2 + bx + c\) и кубической функции \(y = x^3\) пересекаются.

Ответ: да.