ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\begin{cases}
x + y + z = 5, \\
x^2 + y^2 + z^2 = 9.
\end{cases}
\)

Докажите, что \( 4 < xyz < \frac{112}{27} \).

О действительных числах \(x, y, z\) известно:
\(x + y + z = 5\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\);

1) Из первого уравнения:
\((x + y + z)^2 = 25;\)
\(x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 25;\)
\(xy + xz + yz = \frac{25 — 9}{2} = \frac{16}{2} = 8;\)

2) Рассмотрим многочлен:
\(t^3 — 5t^2 + 8t — r = 0;\)
\(r = t^3 — 5t^2 + 8t;\)

3) Функция имеет три корня:
\(r'(t) = 3t^2 — 10t + 8;\)
\(3t^2 — 10t + 8 \leq 0;\)

\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4,\) тогда:
\(t_1 = \frac{10 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3},\)
\(t_2 = \frac{10 + 2}{2 \cdot 3} = 2;\)

\((t — \frac{4}{3})(t — 2) \leq 0;\)
\(\frac{4}{3} \leq t \leq 2;\)

\(r_{max} = r\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{64}{27} — \frac{80}{9} + \frac{32}{3} = \frac{112}{27};\)
\(r_{min} = r(2) = 8 — 20 + 16 = 4;\)

\(4 \leq xyz \leq \frac{112}{27};\)

Что и требовалось доказать.

Даны действительные числа \(x, y, z\), для которых известно:
\(
x + y + z = 5, \quad x^2 + y^2 + z^2 = 9.
\)

Шаг 1. Выражение произведений парных элементов \(xy, xz, yz\)

Рассмотрим квадрат первой суммы:
\(
(x + y + z)^2 = 25.
\)

Раскрываем скобки:
\(
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 25.
\)

Из второго условия известно, что \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\). Подставляем:
\(
9 + 2(xy + xz + yz) = 25.
\)

Вычисляем \(2(xy + xz + yz)\):
\(
2(xy + xz + yz) = 25 — 9 = 16.
\)

Находим сумму произведений парных элементов:
\(
xy + xz + yz = \frac{16}{2} = 8.
\)

Шаг 2. Построение многочлена

Рассмотрим многочлен вида:
\(
t^3 — 5t^2 + 8t — r = 0,
\)
где \(r = t^3 — 5t^2 + 8t\).

Шаг 3. Исследование функции \(r(t)\)

Найдём производную функции \(r(t)\):
\(
r'(t) = 3t^2 — 10t + 8.
\)

Рассмотрим неравенство:
\(
3t^2 — 10t + 8 \leq 0.
\)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4.
\)

Корни уравнения:
\(
t_1 = \frac{10 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3}, \quad t_2 = \frac{10 + 2}{2 \cdot 3} = 2.
\)

Запишем интервал, в котором производная функции неположительна:
\(
\frac{4}{3} \leq t \leq 2.
\)

Шаг 4. Максимальное и минимальное значения \(r(t)\)

Найдём максимальное значение функции \(r(t)\) на интервале:
\(
r\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 — 5\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 8\left(\frac{4}{3}\right).
\)

Вычислим отдельно каждую часть:
\(
\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}, \quad -5\left(\frac{4}{3}\right)^2 = -5 \cdot \frac{16}{9} = -\frac{80}{9}, \quad 8\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{32}{3}.
\)

Сложим результаты:
\(
r\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{64}{27} — \frac{80}{9} + \frac{32}{3}.
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
r\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{64}{27} — \frac{240}{27} + \frac{288}{27} = \frac{112}{27}.
\)

Теперь найдём минимальное значение функции \(r(t)\):
\(
r(2) = 2^3 — 5 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2.
\)

Вычислим отдельно каждую часть:
\(
2^3 = 8, \quad -5 \cdot 2^2 = -20, \quad 8 \cdot 2 = 16.
\)

Сложим результаты:
\(
r(2) = 8 — 20 + 16 = 4.
\)

Шаг 5. Итоговое неравенство

Таким образом, значение произведения \(xyz\) лежит в пределах:
\(
4 \leq xyz \leq \frac{112}{27}.
\)