ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть \( a, b, c \) — целые числа, такие что:

1. \( a + b + c \equiv 0 \pmod{n} \)
2. \( a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{n} \)

где \( n \) — нечётное число. Докажите, что \( a^5 + b^5 + c^5 \equiv 0 \pmod{n} \).

О целых числах \(a, b, c\) известно:
\((a + b + c) \div n, \ (a^2 + b^2 + c^2) \div n; \ n\) — нечетное число.

1) Из первого условия:
\((a + b + c)^2 \div n;\)
\((a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)) \div n;\)
\((ab + bc + ca) \div n;\)

2) Рассмотрим уравнение:
\(
t^5 = (a + b + c)t^4 — (ab + bc + ca)t^3 + abct^2;
\)

3) Числа \(a, b, c\) являются корнями:
\(
a^5 + b^5 + c^5 = (a + b + c)(a^4 + b^4 + c^4) — (ab + bc + ca)(a^3 + b^3 + c^3) +
\)
\(
+ abc(a^2 + b^2 + c^2);
\)
\((a^5 + b^5 + c^5) \div n;\)

Что и требовалось доказать.

О целых числах \(a, b, c\) известно:
\((a + b + c) \div n, \ (a^2 + b^2 + c^2) \div n\), где \(n\) — нечетное число.

Рассмотрим шаги доказательства.

1. Из первого условия следует, что сумма квадратов чисел \(a, b, c\) делится на \(n\), а также их сумма делится на \(n\). Выразим квадрат суммы чисел \(a, b, c\):

\(
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
\)

Поскольку известно, что \(a^2 + b^2 + c^2 \div n\) и \((a + b + c)^2 \div n\), то из выражения выше следует, что произведение парных сумм \(ab + bc + ca\) также делится на \(n\):

\(
ab + bc + ca \div n
\)

Таким образом, все три выражения — \((a + b + c) \div n\), \((a^2 + b^2 + c^2) \div n\) и \((ab + bc + ca) \div n\) — выполняются.

2. Рассмотрим уравнение пятой степени, корнями которого являются числа \(a, b, c\):

\(
t^5 = (a + b + c)t^4 — (ab + bc + ca)t^3 + abct^2
\)

Это уравнение строится на основе свойств симметрических многочленов. Коэффициенты уравнения зависят от суммы корней \((a + b + c)\), суммы произведений пар корней \((ab + bc + ca)\) и произведения всех корней \((abc)\).

3. Используя данное уравнение, выразим сумму пятых степеней корней \(a, b, c\):

\(
a^5 + b^5 + c^5 = (a + b + c)(a^4 + b^4 + c^4) — (ab + bc + ca)(a^3 + b^3 + c^3) +
\)
\(
+ abc(a^2 + b^2 + c^2)
\)

Поскольку известно, что \((a + b + c) \div n\), \((a^2 + b^2 + c^2) \div n\) и \((ab + bc + ca) \div n\), то каждый член в правой части выражения делится на \(n\). Следовательно, вся сумма \(a^5 + b^5 + c^5\) также делится на \(n\):

\(
a^5 + b^5 + c^5 \div n
\)

Таким образом, утверждение доказано.