ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Пусть } a, b, c \geq 0 \text{ такие, что } a + b + c = 1. \text{ Докажите, что } ab + bc + ca — 2abc <
\)
\(
< \frac{7}{27}.
\)

О целых числах \(a, b, c\) известно: \(a + b + c = 1\).

1) Рассмотрим многочлен:
\(
t^3 — t^2 + qt — r = (t — a)(t — b)(t — c);
\)

2) Если \(t = \frac{1}{2}\) и \(a, b, c \leq \frac{1}{2}\), тогда:
\(
\frac{1}{8} — \frac{1}{4} + q — r = \left(\frac{1}{2} — a\right)\left(\frac{1}{2} — b\right)\left(\frac{1}{2} — c\right);
\)
\(
q — 2r \leq \frac{\left(\frac{3}{2} — (a + b + c)\right)^3}{3};
\)
\(
q — 2r \leq \frac{1}{8} \leq \frac{1}{216};
\)
\(
q — 2r \leq \frac{7}{54};
\)
\(
q — 2r \leq \frac{7}{27};
\)

3) Если \(t = \frac{1}{2}\) и \(a, b, c \geq \frac{1}{2}\), тогда:
\(
\frac{1}{8} — \frac{1}{4} + q — r = \left(\frac{1}{2} — a\right)\left(\frac{1}{2} — b\right)\left(\frac{1}{2} — c\right);
\)
\(
q — 2r \geq \frac{1}{8} \leq 0 < \frac{1}{216};
\)
\(
q — 2r \geq \frac{7}{27};
\)
\(
ab + bc + ca + 2abc \leq \frac{7}{27};
\)

Что и требовалось доказать.

Даны целые числа \(a, b, c\), такие что:
\(
a + b + c = 1
\)

Шаг 1. Многочлен
Рассмотрим многочлен третьей степени:
\(
t^3 — t^2 + qt — r = (t — a)(t — b)(t — c)
\)
Этот многочлен раскладывается на произведение линейных множителей \((t — a), (t — b), (t — c)\), где \(a, b, c\) — корни многочлена.

Шаг 2. Подстановка \(t = \frac{1}{2}\) и случай \(a, b, c \leq \frac{1}{2}\)
Подставим \(t = \frac{1}{2}\) в данный многочлен. Получим:
\(
\frac{1}{8} — \frac{1}{4} + q — r = \left(\frac{1}{2} — a\right)\left(\frac{1}{2} — b\right)\left(\frac{1}{2} — c\right)
\)

Раскрытие произведения
Рассмотрим правую часть:
\(
\left(\frac{1}{2} — a\right)\left(\frac{1}{2} — b\right)\left(\frac{1}{2} — c\right)
\)
Так как \(a + b + c = 1\), то сумма \(\frac{1}{2} — a + \frac{1}{2} — b + \frac{1}{2} — c = \frac{3}{2} — (a + b + c)\). Подставим \(a + b + c = 1\):
\(
\frac{3}{2} — (a + b + c) = \frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2}
\)

Следовательно, правая часть выражения зависит от произведения \((\frac{1}{2} — a), (\frac{1}{2} — b), (\frac{1}{2} — c)\), которое можно оценить.

Оценка \(q — 2r\)
Вводится дополнительное условие:
\(
q — 2r \leq \frac{\left(\frac{3}{2} — (a + b + c)\right)^3}{3}
\)
Подставим \(a + b + c = 1\):
\(
q — 2r \leq \frac{\left(\frac{3}{2} — 1\right)^3}{3} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3} = \frac{1}{8}
\)

Таким образом, получаем, что:
\(
q — 2r \leq \frac{1}{8}
\)

Дополнительные оценки
Также вводятся следующие оценки:
\(
q — 2r \leq \frac{1}{216}
\)
\(
q — 2r \leq \frac{7}{54}
\)
\(
q — 2r \leq \frac{7}{27}
\)

Шаг 3. Случай \(a, b, c \geq \frac{1}{2}\)
Если \(a, b, c \geq \frac{1}{2}\), то при подстановке \(t = \frac{1}{2}\) в многочлен будет выполнено:
\(
\frac{1}{8} — \frac{1}{4} + q — r = \left(\frac{1}{2} — a\right)\left(\frac{1}{2} — b\right)\left(\frac{1}{2} — c\right)
\)

Оценка \(q — 2r\)
В данном случае вводится следующая оценка:
\(
q — 2r \geq \frac{1}{8} \leq 0 < \frac{1}{216}
\)

Дополнительные оценки
Также выполняется:
\(
q — 2r \geq \frac{7}{27}
\)

Связь с произведением
Здесь вводится связь между произведением и суммой:
\(
ab + bc + ca + 2abc \leq \frac{7}{27}
\)

Итог
Таким образом, в обоих случаях (при \(a, b, c \leq \frac{1}{2}\) и \(a, b, c \geq \frac{1}{2}\)) выполнены необходимые условия для доказательства.