ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1) \( z^4 + 15z^2 — 16 = 0; \)

2) \( z^3 — 2z^2 + 4z — 8 = 0; \)

3) \( z^4 + 1 = 0; \)

4) \( z^3 — (2 + i)z^2 + 2(1 + i)z — 2i = 0. \)

1) \( z^4 + 15z^2 — 16 = 0 \);
\( D = 15^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 \), тогда:
\( z_1^2 = \frac{-15 — 17}{2} = -16 \) и \( z_2^2 = \frac{-15 + 17}{2} = 1 \);
\( z_1 = \pm 4i \) и \( z_2 = \pm 1 \);
Ответ: \( -4i; -1; 4i; 1 \).

2) \( z^3 — 2z^2 + 4z — 8 = 0 \);
\( z^2(z — 2) + 4(z — 2) = 0 \);
\( (z^2 + 4)(z — 2) = 0 \);
\( (z + 2i)(z — 2i)(z — 2) = 0 \);
\( z_1 = -2i, \, z_2 = 2i, \, z_3 = 2 \);
Ответ: \( -2i; 2i; 2 \).

3) \( z^4 + 1 = 0 \);
\( z^4 = -1, \, z = \sqrt[4]{-1}, \, -1 = \cos \pi + i \sin \pi \);
\( z = \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4}\right) \);
Ответ:
\(
\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i; \, -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i; \, -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i; \, \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i.
\)

4) \( z^3 — (2 + i)z^2 + 2(1 + i)z — 2i = 0 \);
\(
z^3 — 2z^2 — iz^2 + 2z + 2iz — 2i = 0;
(-iz^2 + 2iz — 2i) + (z^3 — 2z^2 + 2z) = 0;
\)
\(
-i(z^2 — 2z + 2) + z(z^2 — 2z + 2) = 0;
(z — i)(z^2 — 2z + 2) = 0.
\)

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4 \), тогда:
\(
z_1 = \frac{2 \pm 2i}{2}, \, z_2 = i.
\)

Ответ: \( i; 1 — i; 1 + i \).

1) \( z^4 + 15z^2 — 16 = 0 \)

Рассмотрим замену \( z^2 = x \), тогда уравнение принимает вид:

\(
x^2 + 15x — 16 = 0
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = 15^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289
\)

Корни квадратного уравнения:

\(
x_1 = \frac{-15 — \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 — 17}{2} = -16
\)

\(
x_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 + 17}{2} = 1
\)

Возвращаемся к переменной \( z \):

\(
z^2 = -16 \quad \Rightarrow \quad z = \pm 4i
\)

\(
z^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad z = \pm 1
\)

Ответ:

\(
z = -4i, \, -1, \, 4i, \, 1
\)

2) \( z^3 — 2z^2 + 4z — 8 = 0 \)

Вынесем общие множители:

\(
z^2(z — 2) + 4(z — 2) = 0
\)

Сгруппируем:

\(
(z^2 + 4)(z — 2) = 0
\)

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. \( z^2 + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad z^2 = -4 \quad \Rightarrow \quad z = \pm 2i \)

2. \( z — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 2 \)

Ответ:

\(
z = -2i, \, 2i, \, 2
\)

3) \( z^4 + 1 = 0 \)

Перепишем уравнение:

\(
z^4 = -1
\)

Представим \( -1 \) в тригонометрической форме:

\(
-1 = \cos(\pi) + i \sin(\pi)
\)

Найдем корни четвёртой степени из комплексного числа:

\(
z = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3
\)

Для каждого значения \( k \) получаем:

1. \( k = 0 \quad \Rightarrow \quad z = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \)

2. \( k = 1 \quad \Rightarrow \quad z = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \)

3. \( k = 2 \quad \Rightarrow \quad z = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i \)

4. \( k = 3 \quad \Rightarrow \quad z = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i \)

Ответ:

\(
z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \, -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \, -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i, \, \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i
\)

4) \( z^3 — (2 + i)z^2 + 2(1 + i)z — 2i = 0 \)

Рассмотрим разложение:

\(
z^3 — 2z^2 — iz^2 + 2z + 2iz — 2i = 0
\)

Сгруппируем:

\(
(-iz^2 + 2iz — 2i) + (z^3 — 2z^2 + 2z) = 0
\)

Вынесем общие множители:

\(
-i(z^2 — 2z + 2) + z(z^2 — 2z + 2) = 0
\)

\(
(z — i)(z^2 — 2z + 2) = 0
\)

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. \( z — i = 0 \quad \Rightarrow \quad z = i \)

2. \( z^2 — 2z + 2 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4
\)

Корни квадратного уравнения:

\(
z = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i
\)

Ответ:

\(
z = i, \, 1 — i, \, 1 + i
\)