ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1) \( z^4 — 5z^2 — 36 = 0; \)

2) \( z^3 + 3z^2 + 9z + 27 = 0; \)

3) \( z^4 + 9 = 0; \)

4) \( z^3 — (4 — i)z^2 + (7 — i)z — 4 = 0. \)

1) \( z^4 — 5z^2 — 36 = 0 \);
\( D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169 \), тогда:
\(
z_1^2 = \frac{5 — 13}{2} = -4 \quad \text{и} \quad z_2^2 = \frac{5 + 13}{2} = 9;
\)
\(
z_1 = \pm 2i \quad \text{и} \quad z_2 = \pm 3;
\)
Ответ: \(-2i; -3; 2i; 3.\)

2) \( z^3 + 3z^2 + 9z + 27 = 0 \);
\(
z^2(z + 3) + 9(z + 3) = 0;
\)
\(
(z^2 + 9)(z + 3) = 0;
\)
\(
(z + 3i)(z — 3i)(z + 3) = 0;
\)
\(
z_1 = -3i, \quad z_2 = 3i, \quad z_3 = -3;
\)
Ответ: \(-3i; 3i; -3.\)

3) \( z^4 + 9 = 0 \);
\( z^4 = -9 \), \( z = \sqrt[4]{-9} \),
\(-9 = 9(\cos \pi + i \sin \pi)\);
\(
z = \sqrt{3} \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{2} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{2} \right) \right);
\)
Ответ:
\(
\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i; \quad -\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i; \quad -\frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i; \quad \frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i.
\)

4) \( z^3 — (4 — i)z^2 + (7 — i)z — 4 = 0 \);
\(
z^3 — 4z^2 + iz^2 + 7z — iz — 4 = 0;
\)
\(
(z^3 — 3z^2 + iz^2 + 4z) + (-z^2 + 3z — iz — 4) = 0;
\)
\(
z(z^2 — 3z + iz + 4) — (z^2 — 3z + iz + 4) = 0;
\)
\(
(z — 1)(z^2 — (3 — i)z + 4) = 0;
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (3 — i)^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 6i — 1 — 16;
\)
\(
D = -8 — 6i = (1 — 3i)^2,
\)
тогда:
\(
z_1 = \frac{(3 — i) — (1 — 3i)}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i;
\)
\(
z_2 = \frac{(3 — i) + (1 — 3i)}{2} = \frac{4 — 4i}{2} = 2 — 2i.
\)

Ответ: \( 1; 1 + i; 2 — 2i. \)

Задача 1

Решить уравнение \( z^4 — 5z^2 — 36 = 0 \).

1. Сделаем замену \( z^2 = t \), тогда уравнение примет вид:
\( t^2 — 5t — 36 = 0 \).

2. Найдем дискриминант:
\( D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169 \).

3. Найдем корни квадратного уравнения:
\( t_1 = \frac{5 — \sqrt{169}}{2} = \frac{5 — 13}{2} = -4 \),
\( t_2 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9 \).

4. Вернемся к переменной \( z \):
\( z^2 = -4 \quad \Rightarrow \quad z = \pm 2i \),
\( z^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad z = \pm 3 \).

Ответ:
\( z = -2i, -3, 2i, 3 \).

Задача 2

Решить уравнение \( z^3 + 3z^2 + 9z + 27 = 0 \).

1. Вынесем общий множитель:
\( z^2(z + 3) + 9(z + 3) = 0 \).

2. Сгруппируем:
\( (z^2 + 9)(z + 3) = 0 \).

3. Найдем корни:
\( z^2 + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = \pm 3i \),
\( z + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = -3 \).

Ответ:
\( z = -3i, 3i, -3 \).

Задача 3

Решить уравнение \( z^4 + 9 = 0 \).

1. Перепишем уравнение:
\( z^4 = -9 \).

2. Представим \(-9\) в тригонометрической форме:
\( -9 = 9(\cos \pi + i \sin \pi) \).

3. Найдем корни четвертой степени:
\( z = \sqrt[4]{9} (\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{2}) + i \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{2})), \quad k = 0, 1, 2, 3 \).

4. Выпишем все корни:
\( z_1 = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \),
\( z_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \),
\( z_3 = -\frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i \),
\( z_4 = \frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i \).

Ответ:
\( z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i, \frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i \).

Задача 4

Решить уравнение \( z^3 — (4 — i)z^2 + (7 — i)z — 4 = 0 \).

1. Разложим уравнение:
\( z^3 — 4z^2 + iz^2 + 7z — iz — 4 = 0 \).

2. Сгруппируем:
\( (z^3 — 3z^2 + iz^2 + 4z) + (-z^2 + 3z — iz — 4) = 0 \).

3. Вынесем общий множитель:
\( z(z^2 — 3z + iz + 4) — (z^2 — 3z + iz + 4) = 0 \).

4. Разложим:
\( (z — 1)(z^2 — (3 — i)z + 4) = 0 \).

5. Найдем дискриминант:
\( D = (3 — i)^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 6i — 1 — 16 = -8 — 6i \).

6. Представим \( D \) как полный квадрат:
\( D = (1 — 3i)^2 \).

7. Найдем корни квадратного уравнения:
\( z_1 = \frac{(3 — i) — (1 — 3i)}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i \),
\( z_2 = \frac{(3 — i) + (1 — 3i)}{2} = \frac{4 — 4i}{2} = 2 — 2i \).

8. Выпишем все корни:
\( z = 1, 1 + i, 2 — 2i \).

Ответ:
\( z = 1, 1 + i, 2 — 2i \).