ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Три комплексных числа \( x_1, x_2 \) и \( x_3 \) являются корнями уравнения

\(
x^3 + 29x^2 — 6x + q = 0.
\)

Найдите \( x_1 x_2 \), если \( x_3 = -31 \).

Дано уравнение третьей степени:
\(
x^3 + 29x^2 — 6x + q = 0, \quad x_3 = -31;
\)

1) Найдём коэффициент \( q \):
\(
(-31)^3 + 29(-31)^2 — 6(-31) + q = 0;
\)
\(
-29\,791 + 27\,869 + 186 + q = 0;
\)
\(
q = 1\,736;
\)

2) Третье уравнение:
\(
x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a};
\)
\(
x_1x_2 \cdot (-31) = -1\,736;
\)
\(
x_1x_2 = \frac{-1\,736}{-31} = 56;
\)

Ответ:
\( x_1x_2 = 56. \)

Дано уравнение третьей степени:
\( x^3 + 29x^2 — 6x + q = 0, \quad x_3 = -31. \)

1) Найдём коэффициент \( q \):
Подставим \( x_3 = -31 \) в уравнение:
\( (-31)^3 + 29(-31)^2 — 6(-31) + q = 0. \)
Выполним вычисления:
\( (-31)^3 = -29\,791, \)
\( 29(-31)^2 = 27\,869, \)
\( -6(-31) = 186. \)
Теперь подставим значения:
\( -29\,791 + 27\,869 + 186 + q = 0. \)
Сложим известные значения:
\( -1\,736 + q = 0. \)
Отсюда находим:
\( q = 1\,736. \)

2) Третье уравнение:
Согласно теореме Виета, произведение корней многочлена выражается как:
\( x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}, \)
где \( d \) — свободный член, \( a \) — коэффициент при \( x^3 \).

Для данного уравнения:
\( x_1x_2x_3 = -\frac{q}{1}. \)
Подставим значение \( q = 1\,736 \):
\( x_1x_2x_3 = -1\,736. \)

Так как \( x_3 = -31 \), то:
\( x_1x_2 \cdot (-31) = -1\,736. \)
Разделим обе стороны на \(-31\):
\( x_1x_2 = \frac{-1\,736}{-31}. \)
Выполним деление:
\( x_1x_2 = 56. \)

Ответ:
\( x_1x_2 = 56. \)