ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Корнями многочлена

\(
x^3 + 3x^2 + 2x — 2 = 0
\)

являются три комплексных числа \( x_1, x_2 \) и \( x_3 \). Составьте кубическое уравнение, корни которого \( 3x_1, 3x_2 \) и \( 3x_3 \).

Дано уравнение:
\( x^3 + 3x^2 + 2x — 2 = 0; \)

1) Первое уравнение:
\( x_1 + x_2 + x_3 = -3; \)
\( 3x_1 + 3x_2 + 3x_3 = -\frac{b}{a}; \)
\( -\frac{b}{a} = -9, \quad b = 9a; \)

2) Второе уравнение:
\( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 2; \)
\( 9x_1x_2 + 9x_1x_3 + 9x_2x_3 = \frac{c}{a}; \)
\( \frac{c}{a} = 18, \quad c = 18a; \)

3) Третье уравнение:
\( x_1x_2x_3 = 2; \)
\( 27x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}; \)
\( -\frac{d}{a} = 54, \quad d = -54a; \)

Ответ:
\( x^3 + 9x^2 + 18x — 54 = 0. \)

Дано уравнение:
\( x^3 + 3x^2 + 2x — 2 = 0 \)

1) Первое уравнение:
Сумма корней кубического уравнения выражается как:
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \)
где \( b \) — коэффициент при \( x^2 \), \( a \) — коэффициент при \( x^3 \).

Для данного уравнения:
\( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{3}{1} = -3 \)
Теперь умножим обе стороны на \( 3 \):
\( 3x_1 + 3x_2 + 3x_3 = -\frac{b}{a} \)
Подставим значение:
\( -\frac{b}{a} = -9 \)
Отсюда:
\( b = 9a \)

2) Второе уравнение:
Сумма произведений корней по два выражается как:
\( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} \)
где \( c \) — коэффициент при \( x \), \( a \) — коэффициент при \( x^3 \).

Для данного уравнения:
\( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{2}{1} = 2 \)
Теперь умножим обе стороны на \( 9 \):
\( 9x_1x_2 + 9x_1x_3 + 9x_2x_3 = \frac{c}{a} \)
Подставим значение:
\( \frac{c}{a} = 18 \)
Отсюда:
\( c = 18a \)

3) Третье уравнение:
Произведение всех корней выражается как:
\( x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \)
где \( d \) — свободный член, \( a \) — коэффициент при \( x^3 \).

Для данного уравнения:
\( x_1x_2x_3 = \frac{2}{1} = 2 \)
Теперь умножим обе стороны на \( 27 \):
\( 27x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \)
Подставим значение:
\( -\frac{d}{a} = 54 \)
Отсюда:
\( d = -54a \)

Ответ:
\( x^3 + 9x^2 + 18x — 54 = 0 \)