ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите кубическое уравнение, корнями которого являются квадраты корней многочлена

\(
x^3 — x^2 + 4x — 1 = 0
\)

обозначенных как \( x_1, x_2, x_3 \).

Дано уравнение:
\( x^3 — x^2 + 4x — 1 = 0 \)

1) Третье уравнение:
\( x_1x_2x_3 = 1 \)
\( (x_1x_2x_3)^2 = -\frac{d}{a} \)
\( -\frac{d}{a} = 1, \quad d = -a \)

2) Первое уравнение:
\( x_1 + x_2 + x_3 = 1 \)
\( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = -\frac{b}{a} \)
\( (x_1 + x_2 + x_3)^2 — 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = -\frac{b}{a} \)
\( 1 — 2 \cdot 4 = -\frac{b}{a}, \quad \frac{b}{a} = 7, \quad b = 7a \)

3) Второе уравнение:
\( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 4 \)
\( (x_1x_2)^2 + (x_1x_3)^2 + (x_2x_3)^2 = \frac{c}{a} \)
\( (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)^2 — 2x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) = \frac{c}{a} \)
\( 16 — 2 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{c}{a}, \quad \frac{c}{a} = 14, \quad c = 14a \)

Ответ:
\( x^3 + 7x^2 + 14x — 1 = 0 \)

Дано уравнение:
\(
x^3 — x^2 + 4x — 1 = 0
\)

1) Третье уравнение:
Согласно теореме Виета, произведение корней кубического уравнения равно отношению свободного члена \(d\) к коэффициенту при \(x^3\), взятому с противоположным знаком.
\(
x_1x_2x_3 = 1
\)
Преобразуем это выражение:
\(
(x_1x_2x_3)^2 = -\frac{d}{a}
\)
Подставим значение \(x_1x_2x_3 = 1\):
\(
-\frac{d}{a} = 1
\)
Отсюда следует, что:
\(
d = -a
\)

2) Первое уравнение:
Сумма корней кубического уравнения равна отношению коэффициента при \(x^2\) к коэффициенту при \(x^3\), взятому с противоположным знаком.
\(
x_1 + x_2 + x_3 = 1
\)
Сумма квадратов корней выражается через коэффициенты уравнения следующим образом:
\(
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = -\frac{b}{a}
\)
Для нахождения суммы квадратов корней используем формулу:
\(
(x_1 + x_2 + x_3)^2 — 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = -\frac{b}{a}
\)
Подставим значения:
\(
1^2 — 2 \cdot 4 = -\frac{b}{a}
\)
Вычислим:
\(
1 — 8 = -\frac{b}{a}
\)
Отсюда:
\(
\frac{b}{a} = 7
\)
Следовательно:
\(
b = 7a
\)

3) Второе уравнение:
Сумма произведений корней по два равна отношению коэффициента при \(x\) к коэффициенту при \(x^3\), взятому с противоположным знаком.
\(
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 4
\)
Сумма квадратов произведений корней по два выражается через коэффициенты уравнения следующим образом:
\(
(x_1x_2)^2 + (x_1x_3)^2 + (x_2x_3)^2 = \frac{c}{a}
\)
Для нахождения суммы квадратов произведений корней используем формулу:
\(
(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)^2 — 2x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) = \frac{c}{a}
\)
Подставим значения:
\(
4^2 — 2 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{c}{a}
\)
Вычислим:
\(
16 — 2 = \frac{c}{a}
\)
Отсюда:
\(
\frac{c}{a} = 14
\)
Следовательно:
\(
c = 14a
\)

Ответ:
\(
x^3 + 7x^2 + 14x — 1 = 0
\)