ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 16.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Даны корни многочлена \(x^3 — 2x^2 + 3x — 4 = 0\), обозначенные как три комплексных числа \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\). Составьте кубическое уравнение, корни которого равны \(x_1 + x_2\), \(x_1 + x_3\) и \(x_2 + x_3\).

Дано уравнение:
\(x^3 — 2x^2 + 3x — 4 = 0\)

1) Первое уравнение:
\(x_1 + x_2 + x_3 = 2\)
\(
x_1 + x_2 + x_1 + x_3 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}
\)
\(
2(x_1 + x_2 + x_3) = -\frac{b}{a}
\)
\(
2 \cdot 2 = -\frac{b}{a}, \quad b = -4a
\)

2) Второе уравнение:
\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 3\)
\(
(x_1 + x_2)(x_1 + x_3) + (x_1 + x_2)(x_2 + x_3) + (x_1 + x_3)(x_2 + x_3) = \frac{c}{a}
\)
\(
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 3(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = \frac{c}{a}
\)
\(
(x_1 + x_2 + x_3)^2 — 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) + 3(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = \frac{c}{a}
\)
\(
4 — 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = \frac{c}{a}, \quad c = 7a
\)

3) Третье уравнение:
\(x_1x_2x_3 = 4\)
\(
(x_1 + x_2)(x_1 + x_3)(x_2 + x_3) = -\frac{d}{a}
\)
\(
(2 — x_3)(2 — x_2)(2 — x_1) = -\frac{d}{a}
\)
\(
2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) — x_1x_2x_3 — 4(x_1 + x_2 + x_3) + 8 = -\frac{d}{a}
\)
\(
2 \cdot 3 — 4 — 4 \cdot 2 + 8 = -\frac{d}{a}, \quad d = -2a
\)

Ответ:
\(x^3 — 4x^2 + 7x — 2 = 0\)

Дано уравнение:
\(
x^3 — 2x^2 + 3x — 4 = 0
\)

1) Первое уравнение:
Из теоремы Виета известно, что сумма корней кубического уравнения равна:
\(
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}
\)
где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — коэффициенты уравнения \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\).

Для данного уравнения \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\), \(d = -4\). Подставляем значения:
\(
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-2}{1} = 2
\)

Рассмотрим сумму всех пар корней:
\(
x_1 + x_2 + x_1 + x_3 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}
\)
Группируем пары:
\(
2(x_1 + x_2 + x_3) = -\frac{b}{a}
\)
Подставляем значение \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\):
\(
2 \cdot 2 = -\frac{b}{a}
\)
Отсюда:
\(
b = -4a
\)

2) Второе уравнение:
Из теоремы Виета известно, что сумма произведений всех пар корней равна:
\(
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}
\)
Подставляем значения \(c = 3\), \(a = 1\):
\(
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{3}{1} = 3
\)

Теперь рассмотрим выражение для произведения всех пар корней:
\(
(x_1 + x_2)(x_1 + x_3) + (x_1 + x_2)(x_2 + x_3) + (x_1 + x_3)(x_2 + x_3) = \frac{c}{a}
\)
Раскроем скобки:
\(
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 3(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = \frac{c}{a}
\)
Используем формулу квадрата суммы:
\(
(x_1 + x_2 + x_3)^2 — 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) + 3(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = \frac{c}{a}
\)
Подставляем значения \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) и \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 3\):
\(
4 — 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = \frac{c}{a}
\)
Выполняем вычисления:
\(
4 — 6 + 9 = \frac{c}{a}
\)
\(
c = 7a
\)

3) Третье уравнение:
Из теоремы Виета известно, что произведение всех корней кубического уравнения равно:
\(
x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}
\)
Подставляем значения \(d = -4\), \(a = 1\):
\(
x_1x_2x_3 = -\frac{-4}{1} = 4
\)

Теперь рассмотрим выражение для произведения всех пар корней:
\(
(x_1 + x_2)(x_1 + x_3)(x_2 + x_3) = -\frac{d}{a}
\)
Раскроем скобки:
\(
(2 — x_3)(2 — x_2)(2 — x_1) = -\frac{d}{a}
\)
Используем формулу для произведения:
\(
2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) — x_1x_2x_3 — 4(x_1 + x_2 + x_3) + 8 = -\frac{d}{a}
\)
Подставляем значения \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\), \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 3\) и \(x_1x_2x_3 = 4\):
\(
2 \cdot 3 — 4 — 4 \cdot 2 + 8 = -\frac{d}{a}
\)
Выполняем вычисления:
\(
6 — 4 — 8 + 8 = -\frac{d}{a}
\)
\(
2 = -\frac{d}{a}
\)
Отсюда:
\(
d = -2a
\)

Ответ:
Уравнение имеет вид:
\(
x^3 — 4x^2 + 7x — 2 = 0
\)