ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Сколько существует способов выбрать } n \text{ клеток в таблице размером } n \times n,
\)
\(
\text{ так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была ровно одна выбранная клетка?}
\)

Способов выбрать \(n\) клеток в таблице размером \(n \times n\) так, чтобы в каждой строке и каждом столбце была выбрана одна клетка:

1) В первой строке есть \(n\) вариантов выбора;
2) Во второй строке есть \(n — 1\) вариантов выбора;
3) В третьей строке есть \(n — 2\) вариантов выбора;
4) В \(n\)-ой строке есть только один вариант выбора:
\(
N = n(n — 1)(n — 2) \cdot \ldots \cdot 1 = n!.
\)

Ответ: \(n!\).

Нам нужно выбрать \(n\) клеток в таблице размером \(n \times n\) таким образом, чтобы каждая из выбранных клеток находилась в своей строке и столбце. Это означает, что ни одна строка и ни один столбец не может содержать более одной выбранной клетки.

1. Выбор клетки в первой строке
В первой строке таблицы можно выбрать любую из \(n\) клеток, так как все столбцы свободны.
Число способов выбора клетки в первой строке равно:
\(
n
\)

2. Выбор клетки во второй строке
После того как мы выбрали клетку в первой строке, один столбец уже занят (тот, в котором находится выбранная клетка). Следовательно, во второй строке остается \(n — 1\) свободных столбцов.
Число способов выбора клетки во второй строке равно:
\(
n — 1
\)

3. Выбор клетки в третьей строке
После того как мы выбрали клетки в первых двух строках, два столбца уже заняты. В третьей строке остается \(n — 2\) свободных столбцов.
Число способов выбора клетки в третьей строке равно:
\(
n — 2
\)

4. Продолжение процесса
Мы продолжаем выбирать клетки в каждой последующей строке, уменьшая количество доступных столбцов на единицу с каждой строкой. В \(k\)-ой строке остается \(n — (k — 1)\) свободных столбцов.

5. Выбор клетки в последней (\(n\)-ой) строке
Когда мы дойдем до \(n\)-ой строки, \(n — 1\) столбцов уже будут заняты, и останется только один свободный столбец.
Число способов выбора клетки в \(n\)-ой строке равно:
\(
1
\)

Общее количество способов:

Чтобы найти общее количество способов выбрать клетки, мы перемножаем количество доступных вариантов для каждой строки:
\(
N = n \cdot (n — 1) \cdot (n — 2) \cdot \ldots \cdot 1
\)

Эта формула представляет собой определение факториала числа \(n\):
\(
N = n!
\)

Пример:

Рассмотрим таблицу размером \(3 \times 3\) (\(n = 3\)):

1. В первой строке можно выбрать любую из \(3\) клеток.
2. Во второй строке остается \(3 — 1 = 2\) свободных столбца.
3. В третьей строке остается \(3 — 2 = 1\) свободный столбец.

Общее количество способов:
\(
N = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6
\)

Ответ:

Общее количество способов выбрать \(n\) клеток в таблице размером \(n \times n\), чтобы в каждой строке и каждом столбце была выбрана ровно одна клетка, равно:
\(
n!
\)